2018年2月9日 星期五

語言與建構式數學



Moria Flaig
2. Februar 2018




語言與建構式數學

建構式數學到底是怎麼來的?先撇開皮亞傑兒童發展心理學不談、還有歐洲維也納學圈成員之間複雜的關係。真正啟動建構式數學的興起是另有原因,主要是教育界為了培養兒童自主思考、自主解題的能力,所發展出的一套透過討論、解析步驟、主體建構、自主思考的數學教學法,揚棄傳統機械式演練、標準算式、死記九九乘法等教法,回歸到兒童心智最自然發展的模式,試圖找出一種最適合兒童思維的解題方式,以此來教導兒童學習基本算數。

無論是維也納學圈的理念也好、兒童心理發展也好、自主性思考學習也好,這些都是建構式數學的一環,然而建構數學發展的來龍去脈不是本文所要探討的重點,這裡所要討論的議題是,為什麼學者會認為建構式數學的思路最適合兒童心理發展?

那麼我們要從語言談起。早期心理發展中,兒童最先接觸的是語言,語言也是兒童最早使用來溝通的媒介,再來才是文字符號。因此本文試圖從語言面向來考察,建構式數學是否真的符合兒童的理解方式?

我曾經在網上讀到一篇談論建構式數學的文章,約略提供了一點線索,作者正是從語言面向來談,說建構式數學是洋人搞出來的花樣,不適合中文學習者,美國人為了讓數學教學更適合本國的語言,讓兒童在心智操作上更為容易,因此發明了建構式數學。此話怎講?

作者的觀點還包括了,英文是十二進位之說,因此在英語國家九九乘法是背到十二,不是背到九。讀到這裡,我不禁地抬眼望了一下我家牆上的乘法表,正是十二進位。我和我家爸爸曾經為此激烈地討論過,為什麼英語國家的小孩要背到十二?不僅是難背,而且還畫蛇添足呢!若將英德兩語相對應來看,11=eleven=elf;12=twelve=zwölf,那麼德語也是十二進位嘍!但是爸爸小時候並沒有背到十二啊!

仔細檢視這個說法,其實是有問題的,嚴格說來13、14、15、16、17、18、19這幾個數字,是先讀個位數、再讀十位數,英語的讀法與阿拉伯數字的寫法剛好倒反,難道我們就因此要說,英語是二十進位嗎?不是!諳熟德語的人就知道,這種數字系統還保存於德語中:不只是二十以內是先說個位數、再說十位數,並且貫徹到99。英德兩語除了11之外,二十以內的數字皆是從個位數說起,此外,德語的12與英文的12發音接近(twelve=zwölf),都是先讀2,只不過英語的two(德語:zwei)在發展的過程中,w的音逐漸消失,但在書寫上還保留著原有的風貌,英德兩語的12,的確都是先說個位數、再說十位數,由此,我們可以推翻英語是十二進位之說。

整體而言,英文二十以內的兩位數,與阿拉伯數字的寫法並不一致,是先讀個位數、再讀十位數,於是數字的讀法與語言有了衝突,我在學校當數學媽媽時,就發現不少小朋友的確會把個位與十位的位置混淆倒置,例如:把fourteen寫成41,因為他們從小學說話時,是先說「4」啊!

為了要解決這個問題,在實際的教學中,澳洲小學在教建構式加減法時,的確是讓小孩子背到二十的,這讓我看來覺得特別不可思議。相較而言,中文與阿拉伯數字同步,加減法根本不需要背的,為什麼學建構式數學卻要背呢?正是因為建構式數學並非先算個位數,其實二十以內加減法以進位借位法來計算最為直接,然而建構式數學是為了以後而鋪路的。根據這條線索來看,我想這種教學設計原本是為了幫助低年級的兒童,跨越數字與語言之間的鴻溝,二十以內的數字語序與阿拉伯數字互相衝突,要求以「背」來克服,這與英語的數字系統無不息息相關。

反觀中文,不但是整齊的十進位,而且完全沒有二十進位的困擾,中文的讀法、順序和單音節的節奏感與阿拉伯數字完全吻合,加減法就算沒有背,學童在心智操作上也不會有困難。中文的九九乘法表背起來不僅是有韻律有節奏,與阿拉伯數字同步、嚴密接軌,特別容易記憶;反觀,英文的乘法表非常難記憶,況且英文還是印歐語系中最精簡的語言,但還是比中文難背的多了,為了不用背,於是有了建構式數學。然而建構式數學乘法的計算方式繁複,反而不適合中文的學習者了,對於中文學習者,記憶乘法表還是比較容易一些。

作者還舉了一個加拿大人的例子來說明中文數字系統的優點,這個加拿大人學了中文之後,牢記中文乘法表,一概使用中文做算數,心智操作起來竟然比自己的母語法語還要容易,連外國人都愛用,我們怎麼好意思捨棄呢?那是因為法語從70起,必須使用加法和乘法來說數字,法語並沒有70、80與90等概念,例如:無法直接說93,而是說4x20+13,法語正是一種二十進位系統(但是60並非3x20;40也非2x20),想來法國人的祖先在算算數時,連腳趾頭也用上了。總之,若是使用此數字系統來背九九乘法,保准你頭昏腦脹,難怪連母語法語的人士也不是很欣賞。的確,當初我教諼諼學法語時,只「敢」教到20幾,之後就隨緣了,為了避免孩子混淆不清,不敢多教,太恐怖了!

綜觀,若說建構式數學起源於,美國人為了讓小孩子克服數字與語言之間的隔膜,所設計出來的一套教學法,乍聽之下還蠻有道理的。以建構式數學的拆解法來計算28+25=?算式是:28=20+8;25=20+5;20+20=40;8+5=13;13=10+3;40+10+3=53,一共六個步驟。將數字拆解成十位數和個位數之後,然後先加十位,再加個位,不但適合英語語序,也適合中文思維模式,但先計算十位、再計算個位,卻不適合德語思維了。因此,我們幾乎可以斷定,德語國家不會採用建構式數學?

回德的時日近了,這個說法不由得讓我聯想到,難道進位借位法是德國人發明的?進位借位法所採用的方法正是先計算個位數,對德國人來說,語言與數字之間不會有隔膜。以同樣的例子來說明:28+25=?如果使用進位借位法來算,只需要兩個步驟就可以完成了,心算好的兒童甚至能夠一步到位,但是要先算個位、再算十位,然而德語的數字系統正是先思考個位數、再思考十位數,順序與進位借位法一模一樣。在使用進位借位法時,英語系的兒童必定遭受到語言上的困擾,因為必須先算個位數,不但不符合英語的習慣,也不符合中文的習慣,卻符合德語的語言習慣。英語二十以內的兩位數,還保留著德語的數字系統,但二十以後則消失了,德語則將這個系統貫徹到99。因此我們可以得到一個結論:進位借位法是德國人發明的?這當然是我自己枉下斷言,並沒有詳加考證過。

但我們似乎可以看出,建構式數學並不適合德語學習者。28+25=?以德語思考的話,先計算個位數最為直接,根本不需要將數字拆解成:28=20+8;25=20+5,然後十位加十位,個位加個位,所得最後再相加總,拆解的這道手續根本是多餘的,因為德語數字系統就是先說個位數,進位借位法是先算個位,對於使用德語的人來說,進位借位法反而是最直接、最適合兒童的思維。

看來,傳說中,建構式數學比較適合幼兒的心智其實是一種迷思,以語言的觀點來看,各國數字系統不一,在心智操作上,建構式數學不見得適合每一種語言,也就是說,不見得適合每一個兒童,建構式數學的理念雖然來自兒童發展心理學,但是計算方式卻不一定符合兒童心理。

如今諼諼跟著建構式數學走到乘除法了,從中我也看到了一些建構式的優點,尤其是以拆解法來算乘除,特別適合中英文的思維模式,也就是先計算十位、再計算個位的邏輯,但前提是必須熟背乘法表,否則拆解與累加繁瑣的程序,會讓整個算式變得很長很長,這反而容易會讓兒童混淆。

升上三年級之後,諼諼就順著二年級時所學的拆解法,來計算多位數乘除法,我還發現,這種方法並沒有一般批評者說的,步驟繁多、算式冗長的缺點,若是與乘法表靈活併用,反而很適合年幼的學童來學習。例如:26x7=?諼諼的算法是:20x7=140;6x7=42;140+42=182。使用的正是代數的分配律,學校既然以拆解法來教加減法,順著同樣的思路,諼諼也以拆解法來算乘除,建構式數學讓他意外地發現了分配律。

根據NSW州政府所頒佈的教綱,澳洲小學四年級的兩位數乘法、五年級的三位數除法,所教的正是這種拆解式乘除法,但前提是要求熟背九九乘法,請注意!不是不用背哦!到了中、高年級階段,澳洲並非死守建構式的累加法來教乘法,卻延用低年級所學的分解法,讓學童以同樣的方法來進行乘除法的計算,最後才有正式的直式算式的出現。

可見,澳洲小學也不是完全捨棄直式計算,只不過等到高年級才會教罷了!在低年級和中年級階段很有可能是為了英文語序的問題,所以要求學童將所有的數字拆解成:百位+十位+個位,然後再分別計算,以此法來幫助學童跨越數字與語言上不同的障礙。因為直式必先計算個位數,順序與語言完全相反,因此在低、中年級還是以拆解法為主。

在這裡特別要提到一點的是,直式算法先算個位數,雖然完全符合德語思維,然而德國人並不使用直式算式,他們以橫式就可以直接計算了,以前我總覺得他們好厲害,橫式一看就可以直接計算,我卻要改成直式。但現在想來,其實這無不與他們的語言習慣有關,因為中文是先說十位數,使用直式好對位,並有利於進位借位的操作。這對於使用德語思考的人而言,直式橫式兩者差別並不太大,因為他們正是先思考個位數、再思考十位數的民族,因此以橫式也可以直接使用進位借位來加減,沒有什麼障礙。

從語言這個面向來考察,其實無論建構式還是傳統式,都有其背景和考量,到底哪一種最適合兒童的思考方式呢?其實難說喲!建構式數學的興起,與其說是力圖與兒童最本然的思維接軌,不如說是,教育者為了協助兒童理解數字系統,並跨越本國語言與數字之間的差異,所做的一番努力罷了!



延伸閱讀

專注力缺陷
http://moriajoel.blogspot.com.au/2018/01/blog-post_25.html
建構式數學
澳洲小學怎麼教算數:二
澳洲小學怎麼教算數?
系統轉換困難:數字
系統轉換困難:語言文字
識字一定要直接
善用閃字卡
中文識字必須量身定做
從中文識字來看數數障礙
跳躍型學習者


2018年2月1日 星期四

中文、折紙與職療



Moria Flaig
29. Dezember 2017





中文、折紙與職療

原本想放棄孩子的中文教育,因為經過一年的中文學校、半年的在家自學,孩子根本無法識字,再堅持下去只有加深親子之間的衝突,對我對孩子都毫無意義。停擺了半年多,正在猶豫要放棄時,說來大家可能不相信,在因緣際會中,卻因為數學障礙,讓我重拾教本。原本想從中文識字的狀況來觀察,孩子的視覺記憶到底在哪一個環節出了問題?為什麼孩子的記憶無法順利將字音與字形聯結起來?(請看『從中文識字看數學障礙』http://moriajoel.blogspot.com.au/2017/11/blog-post_8.html)沒想到卻因此意外地發現,學習中文能夠有效地改善學障。

這話怎麼說呢?先讓我們看看中文識字需要具備哪些能力?命名速度、良好的空間視覺記憶、專注力、觀察細節的能力、自動化。視覺記憶不佳、無法觀察細節、跳躍式思維、注意力不集中,都會造成識字困難。經過一段時日的實驗與觀察,我所得的結論是,諼諼的這些能力都不是很好。

於是,我針對上述的缺陷來尋求改善方案,首先,針對自動化缺陷我改成以閃字卡來識字(請見『善用閃字卡』http://moriajoel.blogspot.com.au/2017/12/blog-post.html),以重複閃字來強化字形與字音的聯結,一字一音一卡,透明度高,讓音形的聯結得以自動化,識字效率在短時之內提高了不少,雖然不是每次閃字都很順利,先天自動化缺陷難以克服,卡住、遺忘的時候還是很常發生,但是經過重複練習刺激,神經網絡逐漸連接,建立了自動化機制,整體來說,改善了不少。

除了閃字之外,我還意外發現,折紙能夠改善學習障礙,這要從去找特教老師談起。放暑假前,我和學校的特教老師進行一次面談,詳情請見貼文『高潛能+低成就』http://moriajoel.blogspot.com.au/2018/01/blog-post_89.html。她測出諼諼有著輕微、隱形的讀寫障礙,我知道他的手眼協調不佳,想必這造成了讀寫時處理速度慢,而且還不會接球呢!然而,這手眼協調也會影響到算數嗎?和不會接球造相關嗎?

從瑞文氏圖形測驗來看,他的推理能力非常好,數學理應有很大的潛能,卻學不好,於是特教老師要讓諼諼參加學校的職能課來改善手眼協調,我不禁納悶地問道:「職療不就是在改善手的操作能力嗎?能直接改善計算能力嗎?這頂多對於書寫有幫助,怎能改善算數能力呢?」特教老師卻神秘地說:「這正是職療奇妙之處!」於是,我跟著特教老師去見職能老師。

大致談過之後,職能老師給我一大堆資料,並且用郵件傳一些文件給我,要我在暑假中先與孩子在家中練習,我略略看了一下資料,與這一年來的書寫輔導完全不同,通常輔導老師會讓他帶回幾本簿子,要家長每天在家督促孩子練習描字,讓書寫動作進入自動化,然而職療老師給的練習既沒有寫字、也沒有算數,比較像是做勞作。

做勞作可以改善精細動作、手眼協調能力,這個概念我有,但是勞作跟算數有什麼關係呢?她們兩個略帶著神秘的神情說:「學障的生成至今原因未明,神奇之處就是,這些動作的練習能夠改善算數能力。」哇!難道與我之前所寫的『循序障礙』有關?手眼協調不佳會影響到點數能力,數字概念不易形成,天生枉有數理邏輯推理能力,但實際操作的點數技巧不佳,數學成績當然不好嘍!然而點數能力不好是因為缺少做勞作?

霎時間,我迅速地回想起諼諼三、四歲上幼稚園時,的確,那時候,幼稚園老師發現他完全不會畫畫、握不住筆,這嚴重地影響到他後來的書寫能力,但是勞作嘛!老師倒是沒有提起。我也知道,他每天帶回家的作品,都非常地漂亮,每次都讓我合不攏嘴,這麼漂亮的勞作,顯然是老師幫忙做的,不是孩子自己做的。這不是本文討論的重點,重點在於,美國人所設計的勞作強調外觀,缺乏東方人做勞作那種嚴謹的要求順序、步驟的精神,依序的能力的確影響到數數、加減計算、乘法背誦等基本算數的學習。請見『循序障礙』http://moriajoel.blogspot.com.au/2017/10/blog-post_25.html

要不是自己的孩子患有循序障礙,我實在無法將算數和折紙聯想在一塊兒,東方人的折紙藝術除了能夠幫助孩子建立起依序的能力之外,折紙還運用了幾何對稱原理,能夠充分訓練兒童認知倍數、分數等概念;此外嚴謹遵循步驟的特徵,方法與態度的確跟算數很相像,折紙雖然不是直接訓練計算能力,卻與數學的一些基本概念和能力息息相關。

回家後,我細讀了老師給的資料,果然看到了有幾項精細動作的練習跟折紙很類似,於是,這個暑假我們集中火力在家進行勞作:折紙、黏土、剪紙、紙飛機模型、串珠子等等。諼諼非常喜愛折紙,一張紙可以折出花朵、動物、盒子、飛機,讓他感到非常地奇妙,這除了可以改善孩子的精細動作之外,在製作過程中,我們還得到不少的樂趣,快樂對一個孩子來說,無非是最重要的事情。
此外,我還發現,職能治療中一些視動練習很像我們最近積極實施的中文閃字、找字練習。每當諼諼讀完了一篇課文,我總是要他將生字從課文中,一個一個地找出來,或將生字排成矩陣要他一一找出(請見『閃字小撇步』http://moriajoel.blogspot.com.au/2018/01/blog-post_51.html)。這個練習除了能夠試出指認生字的能力之外,這也是職能治療中的視動練習。職能師使用的方法是,讓孩子從書中、報章雜誌中,找出特定的字母或單字;或是在矩陣大方格中,從一堆看似任意排列的字母中,找出幾個單字來,這種練習需要的不只是拼字能力而已,而且需要極佳的視動能力;還有讓孩子看『尋找威力』的書,看看孩子是否找得到威力?或是讓孩子從兩張看似相同的圖畫中,找出幾個不同處來;此外,還有依樣描繪圖形的練習,這個練習特別給我一種似曾相識的感覺,超像中文仿寫啊!

就神經面來說,諼諼自己所面對的困難是:書寫、數數、循序、手眼協調、訊息的記憶和提取、自動化、專注力。就學障面來說,學習上的挑戰有書寫和算數。然而,在教導中文識字的過程中,我卻意外地發現到,中文複雜的構字,能夠改善視覺記憶;中文嚴格的一筆一畫、按照筆順的書寫方式還能改善循序缺陷、手眼協調能力。職能治療所注重的視動訓練、細部拆解手指動作和重複練習,有些治療的方法跟中文的學習很雷同、也跟折紙也很類似。

再把諼諼的問題一一串連起來思考,我自己得出一種大膽的假設:中文、折紙本身就是一種職能治療、是一種循序練習。中文識讀則是一種視覺記憶、視動訓練;仿寫國字則是一種循序、視動、精細動作訓練;折紙則是一種手眼協調、循序、數量概念的操練。因為識字需要良好的視覺記憶、寫國字需要高度手眼協調的能力、折紙則嚴格地要求遵循順序,這些訓練在職能治療之中都有出現。諼諼無法識字是因為視覺記憶太差、無法寫字是因為手眼協調不佳、算數有困難則是循序有障礙(請見舊文『循序缺陷』http://moriajoel.blogspot.com.au/2017/10/blog-post_25.html)。直言之,讓孩子學習中文可以改善這些缺陷。

中文學習和折紙一樣有著遵循步驟、手眼協調、自動化的共同特點,既然職能師能夠以折紙來改善數學障礙,對此,我又要妄下斷言了,要改善孩子的計算能力,尤其要改善工作記憶力與循序能力這兩項,看來學中文是一個有效的方法。原來學習中文還俱有療效耶!本來我不想加深孩子的書寫困難,至今甚少要求孩子寫字,現在看來,我應該讓諼諼多仿寫國字來改善眼動和視覺記憶呢!

沒想到,我們老祖宗所流傳下來的東西,折紙、剪紙、讀寫國字皆包含著人類某些最基本的能力。最近讀到一篇報道,譚力海教授發現,母語為中文者,其語言區與使用拼音文字者在大腦中的位置不同,位於Borca區,非常接近運動區,而母語為拼音文字者的語言區則位於Wernick區,這可能跟中文以運筆書寫來學習讀寫有直接關係。此研究並顯示,目前學校教育中充斥著,以電腦拼音輸入取代傳統書寫來學習讀寫的教學方式,這卻造成了更多得到閱讀障礙的兒童,那是因為沒有運筆的關係,目前的風氣是從注重書寫轉向閱讀的訓練,但是兒童的閱讀能力並沒有因此而提高,反而有退步的情況。

原來中文的語言區靠近運動區,難怪諼諼學習中文有困難!他患有肢體協調不佳的運動障礙啊!我們的教育一直要為孩子減輕學習壓力(但是在某一方面又不知覺地加重了壓力),不意卻又在其他方面為孩子製造了困難。看來,練習寫國字是一個減輕不了的重擔啊!



延伸閱讀:

語言與建構式數學
http://moriajoel.blogspot.com.au/2018/02/blog-post_9.html
專注力缺陷
http://moriajoel.blogspot.com.au/2018/01/blog-post_25.html
建構式數學
澳洲小學怎麼教算數:二
澳洲小學怎麼教算數?
系統轉換困難:數字
系統轉換困難:語言文字
識字一定要直接
善用閃字卡
中文識字必須量身定做
從中文識字來看數數障礙
跳躍型學習者