Moria Flaig
2. Februar 2018
語言與建構式數學
建構式數學到底是怎麼來的？先撇開皮亞傑兒童發展心理學不談、還有歐洲維也納學圈成員之間複雜的關係。真正啟動建構式數學的興起是另有原因，主要是教育界為了培養兒童自主思考、自主解題的能力，所發展出的一套透過討論、解析步驟、主體建構、自主思考的數學教學法，揚棄傳統機械式演練、標準算式、死記九九乘法等教法，回歸到兒童心智最自然發展的模式，試圖找出一種最適合兒童思維的解題方式，以此來教導兒童學習基本算數。
無論是維也納學圈的理念也好、兒童心理發展也好、自主性思考學習也好，這些都是建構式數學的一環，然而建構數學發展的來龍去脈不是本文所要探討的重點，這裡所要討論的議題是，為什麼學者會認為建構式數學的思路最適合兒童心理發展？
那麼我們要從語言談起。早期心理發展中，兒童最先接觸的是語言，語言也是兒童最早使用來溝通的媒介，再來才是文字符號。因此本文試圖從語言面向來考察，建構式數學是否真的符合兒童的理解方式？
我曾經在網上讀到一篇談論建構式數學的文章，約略提供了一點線索，作者正是從語言面向來談，說建構式數學是洋人搞出來的花樣，不適合中文學習者，美國人為了讓數學教學更適合本國的語言，讓兒童在心智操作上更為容易，因此發明了建構式數學。此話怎講？
作者的觀點還包括了，英文是十二進位之說，因此在英語國家九九乘法是背到十二，不是背到九。讀到這裡，我不禁地抬眼望了一下我家牆上的乘法表，正是十二進位。我和我家爸爸曾經為此激烈地討論過，為什麼英語國家的小孩要背到十二？不僅是難背，而且還畫蛇添足呢！若將英德兩語相對應來看，11＝eleven＝elf；12＝twelve＝zwölf，那麼德語也是十二進位嘍！但是爸爸小時候並沒有背到十二啊！
仔細檢視這個說法，其實是有問題的，嚴格說來13、14、15、16、17、18、19這幾個數字，是先讀個位數、再讀十位數，英語的讀法與阿拉伯數字的寫法剛好倒反，難道我們就因此要說，英語是二十進位嗎？不是！諳熟德語的人就知道，這種數字系統還保存於德語中：不只是二十以內是先說個位數、再說十位數，並且貫徹到99。英德兩語除了11之外，二十以內的數字皆是從個位數說起，此外，德語的12與英文的12發音接近（twelve＝zwölf），都是先讀2，只不過英語的two（德語：zwei）在發展的過程中，w的音逐漸消失，但在書寫上還保留著原有的風貌，英德兩語的12，的確都是先說個位數、再說十位數，由此，我們可以推翻英語是十二進位之說。
整體而言，英文二十以內的兩位數，與阿拉伯數字的寫法並不一致，是先讀個位數、再讀十位數，於是數字的讀法與語言有了衝突，我在學校當數學媽媽時，就發現不少小朋友的確會把個位與十位的位置混淆倒置，例如：把fourteen寫成41，因為他們從小學說話時，是先說「4」啊！
為了要解決這個問題，在實際的教學中，澳洲小學在教建構式加減法時，的確是讓小孩子背到二十的，這讓我看來覺得特別不可思議。相較而言，中文與阿拉伯數字同步，加減法根本不需要背的，為什麼學建構式數學卻要背呢？正是因為建構式數學並非先算個位數，其實二十以內加減法以進位借位法來計算最為直接，然而建構式數學是為了以後而鋪路的。根據這條線索來看，我想這種教學設計原本是為了幫助低年級的兒童，跨越數字與語言之間的鴻溝，二十以內的數字語序與阿拉伯數字互相衝突，要求以「背」來克服，這與英語的數字系統無不息息相關。
反觀中文，不但是整齊的十進位，而且完全沒有二十進位的困擾，中文的讀法、順序和單音節的節奏感與阿拉伯數字完全吻合，加減法就算沒有背，學童在心智操作上也不會有困難。中文的九九乘法表背起來不僅是有韻律有節奏，與阿拉伯數字同步、嚴密接軌，特別容易記憶；反觀，英文的乘法表非常難記憶，況且英文還是印歐語系中最精簡的語言，但還是比中文難背的多了，為了不用背，於是有了建構式數學。然而建構式數學乘法的計算方式繁複，反而不適合中文的學習者了，對於中文學習者，記憶乘法表還是比較容易一些。
作者還舉了一個加拿大人的例子來說明中文數字系統的優點，這個加拿大人學了中文之後，牢記中文乘法表，一概使用中文做算數，心智操作起來竟然比自己的母語法語還要容易，連外國人都愛用，我們怎麼好意思捨棄呢？那是因為法語從70起，必須使用加法和乘法來說數字，法語並沒有70、80與90等概念，例如：無法直接說93，而是說4x20＋13，法語正是一種二十進位系統（但是60並非3x20；40也非2x20），想來法國人的祖先在算算數時，連腳趾頭也用上了。總之，若是使用此數字系統來背九九乘法，保准你頭昏腦脹，難怪連母語法語的人士也不是很欣賞。的確，當初我教諼諼學法語時，只「敢」教到20幾，之後就隨緣了，為了避免孩子混淆不清，不敢多教，太恐怖了！
綜觀，若說建構式數學起源於，美國人為了讓小孩子克服數字與語言之間的隔膜，所設計出來的一套教學法，乍聽之下還蠻有道理的。以建構式數學的拆解法來計算28＋25＝？算式是：28＝20＋8；25＝20＋5；20＋20＝40；8＋5＝13；13＝10＋3；40＋10＋3＝53，一共六個步驟。將數字拆解成十位數和個位數之後，然後先加十位，再加個位，不但適合英語語序，也適合中文思維模式，但先計算十位、再計算個位，卻不適合德語思維了。因此，我們幾乎可以斷定，德語國家不會採用建構式數學？
回德的時日近了，這個說法不由得讓我聯想到，難道進位借位法是德國人發明的？進位借位法所採用的方法正是先計算個位數，對德國人來說，語言與數字之間不會有隔膜。以同樣的例子來說明：28＋25＝？如果使用進位借位法來算，只需要兩個步驟就可以完成了，心算好的兒童甚至能夠一步到位，但是要先算個位、再算十位，然而德語的數字系統正是先思考個位數、再思考十位數，順序與進位借位法一模一樣。在使用進位借位法時，英語系的兒童必定遭受到語言上的困擾，因為必須先算個位數，不但不符合英語的習慣，也不符合中文的習慣，卻符合德語的語言習慣。英語二十以內的兩位數，還保留著德語的數字系統，但二十以後則消失了，德語則將這個系統貫徹到99。因此我們可以得到一個結論：進位借位法是德國人發明的？這當然是我自己枉下斷言，並沒有詳加考證過。
但我們似乎可以看出，建構式數學並不適合德語學習者。28＋25＝？以德語思考的話，先計算個位數最為直接，根本不需要將數字拆解成：28＝20＋8；25＝20＋5，然後十位加十位，個位加個位，所得最後再相加總，拆解的這道手續根本是多餘的，因為德語數字系統就是先說個位數，進位借位法是先算個位，對於使用德語的人來說，進位借位法反而是最直接、最適合兒童的思維。
看來，傳說中，建構式數學比較適合幼兒的心智其實是一種迷思，以語言的觀點來看，各國數字系統不一，在心智操作上，建構式數學不見得適合每一種語言，也就是說，不見得適合每一個兒童，建構式數學的理念雖然來自兒童發展心理學，但是計算方式卻不一定符合兒童心理。
如今諼諼跟著建構式數學走到乘除法了，從中我也看到了一些建構式的優點，尤其是以拆解法來算乘除，特別適合中英文的思維模式，也就是先計算十位、再計算個位的邏輯，但前提是必須熟背乘法表，否則拆解與累加繁瑣的程序，會讓整個算式變得很長很長，這反而容易會讓兒童混淆。
升上三年級之後，諼諼就順著二年級時所學的拆解法，來計算多位數乘除法，我還發現，這種方法並沒有一般批評者說的，步驟繁多、算式冗長的缺點，若是與乘法表靈活併用，反而很適合年幼的學童來學習。例如：26x7＝？諼諼的算法是：20x7＝140；6x7＝42；140＋42＝182。使用的正是代數的分配律，學校既然以拆解法來教加減法，順著同樣的思路，諼諼也以拆解法來算乘除，建構式數學讓他意外地發現了分配律。
根據NSW州政府所頒佈的教綱，澳洲小學四年級的兩位數乘法、五年級的三位數除法，所教的正是這種拆解式乘除法，但前提是要求熟背九九乘法，請注意！不是不用背哦！到了中、高年級階段，澳洲並非死守建構式的累加法來教乘法，卻延用低年級所學的分解法，讓學童以同樣的方法來進行乘除法的計算，最後才有正式的直式算式的出現。
可見，澳洲小學也不是完全捨棄直式計算，只不過等到高年級才會教罷了！在低年級和中年級階段很有可能是為了英文語序的問題，所以要求學童將所有的數字拆解成：百位＋十位＋個位，然後再分別計算，以此法來幫助學童跨越數字與語言上不同的障礙。因為直式必先計算個位數，順序與語言完全相反，因此在低、中年級還是以拆解法為主。
在這裡特別要提到一點的是，直式算法先算個位數，雖然完全符合德語思維，然而德國人並不使用直式算式，他們以橫式就可以直接計算了，以前我總覺得他們好厲害，橫式一看就可以直接計算，我卻要改成直式。但現在想來，其實這無不與他們的語言習慣有關，因為中文是先說十位數，使用直式好對位，並有利於進位借位的操作。這對於使用德語思考的人而言，直式橫式兩者差別並不太大，因為他們正是先思考個位數、再思考十位數的民族，因此以橫式也可以直接使用進位借位來加減，沒有什麼障礙。
從語言這個面向來考察，其實無論建構式還是傳統式，都有其背景和考量，到底哪一種最適合兒童的思考方式呢？其實難說喲！建構式數學的興起，與其說是力圖與兒童最本然的思維接軌，不如說是，教育者為了協助兒童理解數字系統，並跨越本國語言與數字之間的差異，所做的一番努力罷了！
延伸閱讀
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http://moriajoel.blogspot.com.au/2018/01/blog-post_25.html
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