顯示具有 小學數學 標籤的文章。 顯示所有文章
顯示具有 小學數學 標籤的文章。 顯示所有文章

2022年11月8日 星期二

昔日數學障礙今日心算開根




去年諼諼研發了一招絕技——心算根號。

正如衆所周知,根號極難演算,我家學障兒卻熱衷開根號。

今夏六年級結業時,孩子因成績優異而得到一件獎品,那是一張圖書禮券,五年級時他也曾經得過一張圖書禮券,那時我為他買了一本DK新出的科學百科全書。

而這回他想買什麽樣的書?

一開口説出的書,便是驚人︰Arthur Benjamin所著的『魔術數學』。

 媽媽馬上出言反對,因爲已經買了太多的數學書給他了,他還不知足。孩子爲了説服媽媽,秀出一手讓媽媽驚訝不已的秘技,而這項秘技就寫在那本叫做『魔術數學』的武功秘笈裏︰心算根號。

媽媽且信且疑,拿起計算機按了按,咦!這小子不是在吹牛,真的會算。

因烏俄戰爭,目前在德國訂購一本書,需要經過一兩個月的時間才能送達,因爲德國的圖書都不是在本土印製,而是在東歐印製、在東歐倉儲、從東歐寄出,只因爲那裏的租金與勞力都比德國的低廉,更何況我們訂的是英文書。自從烏俄開打之後,這裏物資奇缺,缺食用油、缺麵粉、缺燃料,未曾想,書也會缺貨。

而禮券的有效期限卻是到十月截止,有鑒於此除了那本『魔術數學』之外,我還向書店訂了幾本Michio Kaku的書,跟書店說,看哪本書先送到,就買哪本。一個月後,我們從巴伐利亞旅行回來,書只送達兩本︰『Hyperspace』與『Physics of the Impossible』,『魔術數學』並未送達。

於是,一本以禮券付款,另一本算是媽媽的獎勵孩子的禮物。

總之,我們並沒有買到那本『魔術數學』,雖然沒得到秘笈,沒關係!孩子照樣能練功,有網路啊!

「媽媽!妳把零到一百之間的任一數字、平方之後所得的數字告訴我,我便能告訴妳這個數字的根號是什麽?」遂成了一個孩子屢試不爽的遊戲。

今秋開學後,孩子升上七年級,數學正式進入代數階段,他早在五年級時就已經自學代數了。

在這裏想跟家長分享的是,家中若有小朋友看似聰明伶俐,但在學習聽説讀寫算基本功夫時,像是有千山萬水阻擋在前面,最簡單的事情,人人都能學會的事情,卻成了無法逾越的鴻溝,怎麽學都學不會。

莫急!莫急!回顧諼諼低小階段,那時聽説讀寫算,除了閲讀特出之外,無法學習寫字,算數也不靈光,那種怎麽都學不會的萬般艱難,無人能體會。

如今孩子七年級了,還是不會寫連體字(德國學校要求以連體字書寫),書寫數字與字母至今都還不是很利索,字跡潦草難辨,經常被老師嫌棄。寫字這一項只能認命,幸好字母只有二十六個,外加德語幾個特殊符號,還有希望「勤能補拙」。

諼諼升上六年級時,數學老師是個數學博士,有博士學位確實有差,諼諼這匹字奇醜的千里馬被伯樂老師看出來了,要將孩子送去位於Karlsruhe的數學教育研究所受資優訓練。

但,實在是,太遠了!

若將諼諼目前的發展説給小二小三的級任老師聽,她們大概會驚訝得「合不攏嘴」,這小子的計算能力,在小四時突然大爆發,從此一發不可收拾,咦!老師們不是説他有算數障礙嗎?

這一切要怎麽解釋?

回想孩子嬰兒時期,也是如此,不説話,就是不説一句話。

突然有一天,他決定開口説話了。


2019年12月29日 星期日

發現數學定理


Moria Flaig
28. Dezember 2019



數學礦物博物館:Wolfach

發現數學定理

我家爸爸平日工作甚忙,孩子的功課都是我一個人在規劃。學習數學除了跟著學校的進度之外,我還特別針對孩子慢郎中的特質,額外讓孩子寫練習本,溫吞的缺點,經過超前學習,處理速度的缺陷多少可以得到彌補。我買的練習本所根據的是一般學校的進度,孩子依照自己的腳步,自己按照練習本學習數學。轉來德國這一年半以來,練習本從三年級寫到六年級,說他處理速度慢,其實不盡然,今年升上小四之後,數學也跟著進入七年級階段的代數。

記憶中,我們當初是國二開始學習代數,也就是八年級,國一是些囉嗦的度量衡換算、繁複的幾何公式,代數則國二以後才會有。在德國課程安排不同,今人與前人的看法也會不同,不同是正常,但是為什麼會不同,有時候也是因為各國教育理念不同。

跳過囉嗦的度量衡與幾何,學完有理數之後,就直接進入代數。學習代數理應熟練各種代數題型演練,奇怪的是,德國代數竟然沒有我預期的那種精彩的題型,而是比較重視線性函數和畫坐標圖,我記得我們小時候學代數時,不但要背很多公式,還要學很多解題技巧,但是在德國的代數幾乎只是線性函數的導論,沒背公式就直接跳到線性函數,之後的數學課幾乎都是畫坐標圖。

天啊!以前我們都不是這樣子,畫坐標的事情我還有印象,但也不是國中三年、高中三年,整整六年都在畫啊!難怪!德國的數學作業本全部都是使用小格方眼紙,因為孩子的書寫困難,寫不了那麼小的字,我多次跟學校老師抱怨,現在終於明白,原來德國重視線性函數,使用小格方眼紙為了就是方便畫坐標和幾何。

畫坐標的事情我早就還給老師了,加上各種陌生的德文名稱,根本對不上我的記憶,沒想到我的數學用來教九歲小孩竟然不夠用,這時!不得不求助爸爸了,於是趁著聖誕節假期,向爸爸問個清楚。果然跟爸爸說的一樣,他們小時候根本沒有背代數公式這回事,要背也只有二項式,一目瞭然,沒什麼大不了的,也不學幾何證明,也不會要求換算成英式單位,數學課還真的都是在畫坐標,我天生喜歡速戰速決,難怪對於畫坐標這種磨人的事情,印象完全不深刻了。

媽媽不行,換爸爸上陣,讓爸爸大顯身手,函數代數正好是他的最愛,和兒子同樣是慢郎中的爸爸,完全不介意畫坐標圖是件麻煩事,父子兩人在印3D機器人R2D2時,邊印邊畫,不知怎麼地,孩子不知不覺地愛上畫那些坐標軸,誒!不對不對!這樣沒有跟著進度走,代數還沒進入狀況,就去畫什麼線性代數!但媽媽說什麼也沒有用,父子倆繼續天南地北地大談函數代數。


窗外雪景

諼諼自己則發現一個定律,要爸爸畫出:f(x)=1/2^(x+1), x=0,1,2,3,4....
這裡因為限於電腦打字,(x+1)無法以次方顯示出來,以符號^來代替,若將x依次代入0,1,2,3,4之後,所得結果依序為:

x=0, f(x)=0.5 
x=1, f(x)=0.25 
x=2, f(x)=0.125 
x=3, f(x)=0.0625 
x=4, f(x)=0.03125 
x=5, f(x)=0.015625 
x=6, f(x)=0.0078125 
x=7, f(x)=0.00390625

這麼小的小數,爸爸當然無法畫出坐標圖,這時候,怎麼畫那條線已經不重要了,而是如何證明諼諼所發現的定律,用諼諼的話來表達即是:

0.5的一次方=0.5,得到小數點一位
0.5的二次方=0.25,得到小數點二位
0.5的三次方=0.125,得到小數點三位
0.5的四次方=0.0625,得到小數點四位
0.5的五次方=0.03125,得到小數點五位
0.5的六次方=0.015625,得到小數點六位
0.5的七次方=0.0078125,得到小數點七位
0.5的八次方=0.00390625,得到小數點八位

同理推論0.2,0.3,0.4,0.6,0.7,0.8,0.9是不是也得到一樣的結果呢?爸爸請你證明出來!爸爸自己一個人在浴室蹲了半天,出來之後,說是證明的方法想出來了,但是沒寫在紙上,我猜,他的想法大概是,寫也沒有用,反正我們看不懂。

事後,媽媽自己想一想,其實道理很簡單,用說的就行,根本不用推公式。小數點m位x小數點n位,如果最後的位數沒有出現0,所得結果是小數點m+n位,這是我們計算小數的基本原則,0.5的n次方,每次都是再乘以一次0.5,每次小數必定又多一位數,因此,小數點後面的位數跟著次方數增加。

同理推論,0.2,0.3,0.4,0.6,0.7,0.8,0.9也是得到一樣的結果。這時候,諼諼就說了,諼諼定律是,0.2,0.3,0.4,0.5,0.6,0.7,0.8,0.9的n次方,所得的數字,小數點位數與次方數相同。

這是小數點一位數的n次方的狀況。媽媽問,那小數點二位數的n次方呢?經過驗算,答案則是2乘以n。小數點三位數的n次方呢?經過驗算,答案則是3乘以n。同理推論,小數點m位數的n次方,所得到的小數點位數則是m乘以n,諼諼所發現的定律應用範圍更為廣泛了,還真的俱有普遍性。大家同意這樣的說法嗎?


後記︰後來爸爸以正式的數學證明方法,演算給我們看,證明了諼諼的假設。


2019年11月1日 星期五

藍色腦



Moria Flaig
1. November 2019



在博登湖可以搭乘世界上唯一載真人的齊伯林

藍色腦


在孩子出生時,我曾經買了一本美國神經學研究者Lise Eliot所寫的書:『What's going on in there?』,不久之後這本書就被塵封在德國的閣樓裏,一放八年就過去了。八年之後等我再度來到德國拾起這本書,孩子早就已經渡過嬰兒期,如今的我對於嬰兒早期發展已經不是那麼地感興趣了,但是我還是把重新把這本書再看一遍,對於書中男嬰女嬰發育不同所做的比較,深有同感,並意外發現Eliot原來是暢銷書『Pink Brain, Blue Brain』的作者,於是網上讀了一點相關論文,證實了我過去的一些觀察。

諼諼轉學到德國後,最明顯的轉變是數學變好了,近來我有驚人發現,他的心算能力異於常人,我想,這應該是天生的,我向來的原則是,基本的會算就好了,我不會刻意要求也要會心算。過去一年裡我老是強調,孩子轉到德國後,數學就變好了,其實這是錯誤的說法,他的數學不是醫好或是補好了,而是他本來就是屬於數學系統的人,只是澳洲數學教學法不利於男孩學習。此話怎講?

在發展上,男孩子的語言溝通能力和手眼協調能力的發育,比起女孩晚很多,有些研究者甚至估計到晚四年。兩天前的PO文『心算』中,我曾經引述Eliot的論點:男孩子左右腦的之間的聯結低很多,協調性差,學習能力也較差,男孩語言表達能力、書寫能力,在發育上比女孩晚四年,而男孩在空間認知與數學認知則比女孩早四年(Lise Eliot, The Trouble with Sex Difference),男性賀爾蒙有助於空間認知發展,但同時也抑制語言能力發展(Lise Eliot, Was geht da drinnen vor?)。

後來,我讀了Eliot另一篇文章『The Myth of Pink & Blue Brains』,啓發我去思考另一個問題:難道重視語言分析解釋的建構式數學,全是美國教育界為了提昇女孩學習數學的興趣,所發展出來的教學政策?卻殘害到男孩?沒錯,我的用詞正是『殘害』兩個字。諼諼歷經驚濤駭浪的建構數學的洗禮,留下不少後遺症,首先,不善於語言表達被誤以為(澳洲數學考試是口試,數學怎麼口試?),男孩得了算數障礙,而非手眼協調的發展遲緩,真是一大誤會。


博登湖

話說從前我們住在澳洲的時候,澳洲數學教學重視實物操作、語言情境描述、繪畫勞作與小組溝通討論,必定將日常生活實際應用導入教學,不重視系統性的觀察、空間化排列、抽象算式演練,注重實際的活動與情境構想應用,高年級階段總是要求學生假想一些故事來做實際的應用,要求寫長文,男孩不見得有興趣。其實語文與數學結合在一起教也沒有什麼不對,也沒有不好,但是這種模式,很顯然地非常適合女孩學習,不適合表達能力不好的男孩。

然而數學本身的性質最終脫離不了系統化抽象符號推演的範疇,這樣的教學其實局限性太大,低年級還可以,小學階段要求寫長文也行,之後呢?幫助女孩贏在起跑點,真的能夠讓女孩補足了數理邏輯的弱點嗎?還是讓女孩完全沒有機會得到足夠的抽象思考訓練?女孩在後來真的能夠得到整體的提昇嗎?再者,男孩先天在語文上就遠遠落後,現在還要輸在數學上,豈不是很悲哀嗎?

有人主張男女分校,因為男女發育的模式完全不同,學習模式也完全不同,利於女孩,不利於男孩,教程無論怎麼設計,總是不能兼顧兩性。我想,真正的迷思在於,兩性平權最終的目的並非要達到兩性相同,而是要讓兩性得以自由發展自己的強項,不是嗎?弱項何必要去補?數學不好照樣適合讀醫學院,醫學上要用到高等數學的機會並不多,女性特強的記憶力反而更適合學習醫學,溫柔細心的特質其實更適合照料病人,但是我們的社會並不給女孩同等的機會,問題並不是出在女孩數學不好啊!再來,男孩的沈默寡言,不喜歡閱讀,會有人異想天開發展出數理邏輯閱讀教學法來解救男孩的閱讀障礙嗎?答案是:沒有!

德國的數學教學很死板沈悶沒錯!女孩可能不會覺得觀察一大堆死寂的數字、一大串並列的算式、並從中得到運算規則,是一件有趣的事情,然而諼諼卻能夠樂在其中。觀察算式的教學法完全違反女孩在發育上的強勢:語言文字表述,數字會說話嗎?除非把數字和物價放在一起,的確可以提高女性對於數字的興趣,否則要邏輯推演能力差的女孩觀察枯燥的算式,可能學起來會很痛苦,卻適合手眼協調能力差的男孩學習,因為所有的算式全部整整齊齊地排好了,只要你自己看出個所以然,不必自己畫,不必自己構想做文章,就可以得出規則,不是很完美嗎?諼諼就很喜歡德國系統,不喜歡澳洲系統,喜歡純數字運算,不喜歡實物應用,更別談要他長篇大論地寫長文這種麻煩事,簡直要他的命咧!

當然女孩也有數理邏輯能力特強的,男孩也有善於辭令的,莎士比亞也是男人,居里夫人數學一定也不差。然而,科學研究是以大數著眼,不看例外。教育政策是針對整體國民,而非個人。




2019年10月31日 星期四

德國小學特點



Moria Flaig
30. Oktober 2019



博登湖上的花島Mainau


德國小學的特點

諼諼轉學到德國已經一年半了,若要我來說德國小學有什麼特點,我想,最大的不同應該是半天制,從時間短、進度快可以觀察到,德國人凡事講求精簡與效率,不喜歡繁複與變化,我想,這無非是德國小學的特點。

德國初等教育與中等教育基本上以半天為基調,下午的活動,通常屬於安親性質,並非正式的教學,帶班的人員也非正規教員,活動也以音樂、體育、遊戲、美勞為主,並非輔導課。小學之後才有上整天,但也不是每天整天,雖然有些學校下午會安排正式課程,但是通常一星期只有一次,其他的都是非正式的活動,大多是所謂的AG,興趣班,自由參加,沒有硬性規定。嚴格來說,中學也不能算是全天制。

半天制對孩子的發展最有助益,早早上完課,早早回家吃午飯,整個下午孩子擁有自己的時間,可以做自己想做的事情,看自己想讀的書,騎車、騎馬、玩耍、上圖書館借書、培養興趣、參與運動、練習樂器等等,這些都需要擁有私人時間。德國人重視培養嗜好,女孩大多騎馬,男孩大多玩模型火車,男女孩皆學樂器的甚多,那是因為他們的孩子有時間。

上課時間雖然只有早上半天,但是課程進度非常快,家庭作業很多,與澳洲進度慢、作業少,截然不同。考試不定時,而且不用準備,基本上,老師認為學生只要上課認真、按時寫作業,考試應該都可以勝任。



德國數學重視系統化推演,考試也是系統性同題型的排列一起(注),不要求由計算來得到答案,而是由系統推演來解答。反觀,澳洲數學進度非常慢,光是九九乘法表就要分成三四年級兩年來教,五六年級時才有兩位數乘除法,不使用教科書,小朋友沒有機會做系統性的觀察。在德國數學教學使用密密麻麻算式並列的教科書,要求小朋友做系統性觀察,進度則非常地快,小二就要熟練乘法表,並且要求簡單的乘除法計算。小學四年教完四位數加減乘除(不帶零),並挑戰五位數乘除法。

注:學生要由5*3=15與5*10=50來推論5*13=65;然後繼續推論:11*3=33,11*10=110,11*13=143

德國數學教學不囉嗦,只有算式,沒有實物操作,很適合喜歡研究符號系統的諼諼來學習,因此讓他順利克服了算數困難,並且愛上了數學。相較而言,國語文教學就很不討喜了,德國國語文重視文法、拼字,完全不重視閱讀習慣的培養,根本忽視創作,作文都是先定好框架的(注),簡直是把作文當數學來教,要求按照框架依樣畫葫來作文,名為寫作訓練,其實只是要學生套框架而已,套框架看似容易,然而諼諼這種常常走神的孩子,最後寫出來的文章往往文不對題。此外,老師對於大小寫要求太過吹毛求疵,孩子拼字沒有錯,但總是因為大小寫(德文名詞第一個字母要大寫),被嚴重扣分,因此德文成績不佳。與之相較,澳洲老師對於拼字與大小寫相當地寬容,作文也儘量不設框架,有時候也會讓孩子自由創作,諼諼雖然作文能力差,但是喜歡天馬行空地自由發揮,有時也會寫出佳作。

注:所謂框架,類似看圖說話,要求小朋友按圖示來描述;或者先給小朋友一些訊息、文章架構、或是先佈置好了情節,要求他們根據這些線索連接成一個完整的文章。

再者,諼諼喜歡閱讀,喜歡深難罕見字,喜歡發音奇特的外語,討厭瑣碎的文法和拼字規則。澳洲國語文首重閱讀與寫作,不重視文法與拼字,作文有固定題目,但是沒有框架,老師知道諼諼書寫上有困難,有時候也允許他自由創作,雖然寫字上有困難,但是識字多、閱讀程度高,成績多多少少可以因此提升不少。此外,澳洲英文成績分成閱讀與寫作兩部分,諼諼閱讀總是得到最高分,可以彌補寫作上的不足。




學校生活方面,兩國之間有著天壤之別,德國學校很少舉辦活動,我們學校定期只舉辦聖誕節與畢業典禮兩次音樂晚會,今年學校決定要取消畢業晚會,原因是每年全校師生花費太多時間在彩排上,嚴重影響到課業進度,我想泰半是辦活動、負擔重,老師們無法消受。其餘的家長應邀到校的場合,一共也只有四次,一次家長座談會、兩次與老師面談、一次期末吃點心。

反觀我們澳洲的小學,每個月至少舉辦一兩次大型活動,運動會、園遊會、化妝會、才藝秀、書展、資優生作品展、母親節、父親節、祖父母節、家長教學觀摩、開學典禮、畢業表演、畢業點心會、烤肉、野餐、蛋餅節、數學比賽、演講比賽、募款捐獻、聖誕歌曲合唱會等等,名目繁多,家長皆應邀參加。

德國的家長與學校關係並不密切,家長與老師也很少溝通互動,家長之間根本不認識,比賽頒獎這種事情只有政策性的舉行朗讀比賽,其他的一概省略,家長根本沒有到校的熱情和動力。我們澳洲的學校,每星期一朝會上有頒獎,累積五張獎狀可以換得獎品,很多家長每天參加朝會,就是要看頒獎,有了得獎的盼望,就有到校的動力,得了獎狀之後,就有參與的激情。德國人則認為學校只是上課的地方,小孩待在學校只有半天而已,基本上,孩子的生活重心在家庭,並不在學校,學校有沒有辦活動,有沒有頒獎獎勵,德國人的想法是,根本沒差,也不重要。

原因深究起來,是因為德國學校不募款,不會要求家長捐獻,這下子就完全沒有舉辦活動的動力了!辦活動勞民傷財,哪來的人力和財力?德國是福利國家,一切教育資源以免費為原則,教材教具教科書練習本文具校車全部免費,甚至出國旅行見習都可以向政府請款,家長只要出錢買鉛筆作業簿和書包,孩子就能夠上學了。學校若是三不五時地辦活動,政府願意支付這些費用嗎?靠著舉辦活動來立名目跟家長募款請款,會被罵死喲。

與之相較,澳洲學校則靠著舉辦眾多活動來向家長募款請款,更重要的是,辦活動不只是需要經費,也需要人力,於是學校動員家長做義工,讓家長積極參與各項活動,每一個年級的家長(澳洲小學一共七個年級),每年至少要扛下兩三項大型活動,前提即是學校與家長要合作無間,才有辦法。

在澳洲家長除了幫忙辦活動之外,還可以幫忙遠足、參觀博物館、旅行、上游泳課、運動會當裁判等等。家長還可以參與上課,幫忙教書,那時,我每星期到校當閱讀媽媽和數學媽媽,實際參與教學。學年結束時,我曾經一個人花幾天的時間,幫忙排列學校圖書館的圖書。這些都是需要人力的工作,澳洲的學校很擅於與家長建立緊密的關係,讓家長主動到校協助各種事務與推動各種活動。




我們德國的學校本來只舉辦聖誕晚會和畢業晚會兩項活動,今年夏天老校長退休,新校長一上任之後,馬上將下一屆的畢業晚會取消,活動只剩下一項:耶誕晚會。正是符合,德國人凡事講求精簡與效率,不喜歡繁複與變化,學校往往被化約成上課的地方,而非社交的場所。

我想,這與德國人喜歡到國外度假旅行,不喜歡參與社區的公共事務息息相關,學校只是生活的一環,沒有人想把它當成生活的全部。更何況,德國不是移民社會,一般德國人世世代代群聚一個地區,相形之下,親友之間的互動與協力更為重要。對於史瓦本人來說,人生中最重要的事情無非是蓋房子,親友互相幫助蓋房子、整修房子,非常普遍,不會有人願意把寶貴的時間用在賣BBQ之上。然而在連帶不緊密的移民社會裡,到學校幫忙賣BBQ就變成移民尋求與社會聯繫的一個重要途徑了。

難怪乎!有人說德國社會很難融入,學校並不提供家長任何管道,來讓移民家庭能夠更容易地接觸到當地人。我們在美國與澳洲生活時,學校一直是一個讓媽媽我結識好朋友的地方,是讓外來的人得以一窺當地人的生活方式與價值理念的機會,更是放學後,讓孩子與同學一同玩耍、學習與人互動的好地方。若不是我們在德國有親友,否則諼諼想要融入德國人的生活圈裡,恐怕是一件很難的事情哦!


2019年10月30日 星期三

心算



Moria Flaig
29. Oktober 2019



花島Mainau:一萬株鬱金香

心算


話說諼諼的學習困難鑑定為感覺統合失調,而非專注力缺陷,我目前所得到的訊息是:感覺統合失調大部份會在神經統合功能發展較健全之後,大部份的症狀會消失。這讓我的心中燃起希望,說不定,孩子大一點後,就會好了。

的確,就寫字與算數這兩項來看,字跡雖然沒有隨著成長而好轉,然而算數能力卻突飛猛進,回想起兩年前孩子計算能力嚴重落後,連一位數加減法都有困難,如今奇蹟出現,居然三位數乘除卻能夠心算,並且挑戰四位數,落差未免太大了吧!

一年多前搬來德時,首先要補救的是九九乘法,澳洲小學直到三年級之後才引入九九乘法,之前所學的都只是乘法觀念而已,並沒有計算,三年級之後引入建構數學的拆解法,並沒有嚴格要求要背九九乘法。在德國則不同,學校也教拆解法,但在二年級就必須要熟練九九乘法,老師會不斷地復習,並且不時地抽問。

諼諼轉到德國後,不會九九乘法,無法直接讀三年級,只好回去讀二年級的最後兩個月,老師說了,所有的同學都會九九乘法,唯有他一個人不會背。升三年級的暑假中,我利用時間讓他熟練九九乘法,升上三年級之後,果然借助九九乘法之力,孩子的數學一下子就飛升上來,並且成為孩子最喜歡的科目,還常常說以後上大學要主修數學、物理與英文三科。

如今升上四年級,我最近有一項大發現,我發現孩子不僅計算能力強,還發現心算能力也特強,向來我想,孩子若是作業能算對,就算萬幸了,怎還奢望他會心算?於是還特別問了:「你們老師有教心算嗎?還是你自己學會心算的?」諼諼則回答說:「心算需要學嗎?不就是跟筆算一樣嗎?」

孩子說得讓媽媽驚訝不已,沒錯!心算不就是根筆算一樣,但是三位數乘除法要心算耶!這可就很難了,總覺得孩子一定得到了什麼祕笈,因為沒有用筆記下數字與步驟,計算過程全部記在腦中,這媽媽我就不會!

我不相信孩子的說法,心算跟筆算一樣,不必另外學,當下試試,看他如何不用紙筆計算,算式全部用口頭問,不寫在紙上,心想:「連我都不會算,我不相信,你這樣會算。」於是測試了下列的幾個算式:

三位數乘法:243*7=?
三位數乘法:385/5=?455/7=?
三位數乘以分數:385*3/5=?936*3/4=?
超難的兩位數乘以兩位數,孩子的確感到困難:37*45=?
但乘以十幾的,孩子卻說一點都不難,馬上心算出來:78*12=?35*13=?
甚至連四位數除法,也能夠心算:1365/5=?1638/3=?




咦!兩年前在澳洲時,老師不是說,他連一位數加減法都不會嗎?時間正好是兩年前,我寫了一篇「超低的數學成績https://moriajoel.blogspot.com/2017/09/blog-post.html,當初憂心如焚,如今事態完全兩樣,或許,感覺統合失調只是男孩女孩發育不同調罷了?男孩患有注意力缺陷、發展障礙、讀寫困難的是女孩的四倍,女孩在校成績比男孩好(Lise Eliot, Wie Verschieden sind Sie?),這無外乎是因為男孩女孩大腦結構不同、賀爾蒙內分泌也不同,比起女孩,男孩子左右腦的之間的聯結低很多,協調性差,學習能力也較差。整體而言,男女發育不同,男孩語言表達能力、書寫能力,在發育上比女孩晚四年,而男孩在空間認知與數學認知則比女孩早四年(注:Lise Eliot, The Trouble with Sex Difference),男性賀爾蒙有助於空間認知發展,但也抑制語言能力發展(Lise Eliot, Was geht da drinnen vor?)。

從諼諼和鄰家女孩兩人之間的差異來看,完全符合Eliot的論點,男孩女孩在認知上的發展,全然不同。他們兩個人年紀一樣大,是同班同學,女孩寫得一手漂亮的字,國語文往往得到最高分,但是在算數學時,就變成另一個人了,邏輯思考亂得令我抓狂,手眼協調是天生的,邏輯思考也是天生的,不同的是性別;反觀,諼諼的認知發展完全倒反過來,字跡潦草得不僅老師看不懂,連他自己都看不懂,我更是懶得去看得懂,德文考試時,拼字全對,卻丟三落四,扣分連連,手眼協調度太差。但是心算能力,沒訓練過,像是與生俱來的,體現出系統性思考的優勢。我想,這也是天生的吧!

仔細比較起來,澳洲數學教學重視具象語言描述、實物美勞與小組溝通合作,不重視系統性的抽象演練,非常適合女孩學習;德國數學教學只重視系統化抽象符號推演,完全不重視語言文字表述,更不會把美勞與數學兩者整合在一起,邏輯推演能力差的孩子學起來非常痛苦,卻適合手眼協調能力差的男孩學習,諼諼就很喜歡德國系統,不喜歡澳洲系統,喜歡純數字計算,不喜歡實物應用。

在諼諼心算的時候,我發現他之所以能夠心算大數,是因為他有驚人的工作記憶,不用筆寫下,也能夠將運算過程中的重要數字記住無誤,我自己則沒有這種能力。然而弔詭的是,先前智力測驗測所得的工作記憶卻很低,造成內在差異太大,無法估計出智商。工作記憶不好的孩子往往不具備心算能力,再者,心算大數,專注力要很強,不是說是工作記憶有缺陷、專注力有缺陷嗎?

或許隨著年齡的增長,孩子的大腦神經發育也較健全了,算數困難也會跟著消失,說不定不久以後,書寫困難也會煙消雲散。


2019年2月22日 星期五

不利ADD兒的教學法



Moria Flaig
17. Februar 2019







不利ADD兒的教學法

最近在網上遇到意氣相投的媽媽,終於,也有網友觀察到,建構式數學是不適合ADD兒的一種教學方式,對患有注意力缺陷的兒童最困難的事莫過於,駕馭步驟繁複的事情,像是寫國字。然而,建構式數學不利於ADD兒,問題並非出在於理念本身,而是算式過於繁複,對於無法專心的ADD兒來說,不是幫助學習,而是加重學習,因此,建構式數學不利於ADD兒,簡單直接的教學法反而比較適合ADD兒。詳情請參照:『建構式數學』一文https://moriajoel.blogspot.com/2018/01/blog-post_20.html

建構式數學不但強調拆解計算、步驟繁複,還強調溝通互動,我並不清楚,當初在台灣實踐建構式數學時,討論互動落實的程度如何?但在澳洲小學中,則是全面以分組討論來進行、全面以視聽媒體來教學、全面以口試來考試、紙筆計算儘量減少。澳洲小學的教學不只有數學採用建構式,而是全面建構式,本來是一個非常美好的教育理念,但是我家的ADD兒卻完全適應不良。

近來,我讀到一本書,印證了我的觀察,作者也認為新式教學法不利於ADD兒,並引用實證研究佐證,也提及很多學障兒的父母試圖將孩子轉入體制外教育系統來減輕學習負擔,這種做法往往適得其反,反而會加深學習障礙,作者也把蒙式等其他教育體系也納入分析討論(請參閱:Armin Born與Claudia Oehler:Lernen mit ADS-Kinder,p73-77),我自己對於其他類型的學校毫無觀察的機會,只能以澳洲的小學為例來與讀者分享,澳洲小學正是實行新式教學法。然而,何謂傳統?何謂新式?光從字面上來看,定義籠統,簡單來說,還是可以定義為:

傳統教學法:使用教科書、學習內容固定、以靜態讀寫為學習方式、強調遵守紀律以免干擾同學、以紙筆考試為主要評量方式。
新式教學法:沒有教科書、使用多元媒體、學習內容即興不固定、以動態互動小組討論為學習方式、允許孩子到處走動、以口試團測為評量方式。



梗概而言,新式教學法重視多樣化的學習途徑,老師不只是呆板地照本宣科、按表操課,同時也引入不同的教學技巧,像是科際整合、差異性教學、互動教學、視聽媒體教學、實體操作,從教育的觀點出發,這應該是一種不錯的教學方式,ADD兒為什麼會對於新式教學法適應不良呢?原因其實很簡單,在動態太多的環境之中,ADD兒根本無法專心學習:

一、容易分心:新式教學主要使用視聽媒體教學,比起刺激原單一的課本來說,刺激源太多,ADD兒無法專心、無法吸收。
二、寫太多:由於沒有使用課本,要求記錄學習內容,做習題時,又必須寫長文,連數學也不例外,對於有書寫困難的孩子來說是非常大的負擔。
三、強調溝通互動:ADD兒大多內向安靜,比起自己閱讀、探索、操作、練習,ADD兒對於互動性的討論沒有太大的興趣。
四、學習內容不固定:新式教學要求學生自己組織架構學習主題,以開放性問答題為主(注釋),沒有固定答案,學習內容與目標不明確,ADD兒組織能力差,往往不明白學習目標為何?
五、全靠聽覺記憶:新式教學不使用課本,著重老師的口頭傳授,ADD兒患有工作記憶缺陷,一聽即忘,記不住老師傳授的內容。
六、無法應付口試。

(註釋)開放性問答題即所謂end-off,題目不固定,答案也不固定,強調自我安排組織。如何學看時鐘?老師讓學生自己畫出時鐘,然後學生自己寫上時間;如何學習分數?學生自己畫披薩,自己切割,自己寫上幾分之幾。學生得到36個銅板,由學生自己排列,可以排列成1x 36、2x18、3x 12、4x9、6x6等矩陣,以此來學除法。



然而,一個健全的教育不僅是聽、說、讀、寫、算要完備,而且孩子還要具備自發性探索、自主性學習、溝通互動的能力。新式教學法本身並沒有錯,是一個非常值得追求的教育理念,我覺得問題並不在於理念本身,而是落實的方式。例如:諼諼聽覺記憶差,我使用有聲書來改善他的聽覺記憶,有聲書可以在課餘時盡情享受,這不代表要學校教學要全面以聽覺來進行,進而廢除教科書,孩子學習全靠稍縱即逝的視聽媒體,忽視有影有形有重量的書本。此外,探索性學習固然重要,但是不一定非得要以互動性的團體活動來進行,非得跟大家綁在一起,難道孩子就不能自己探索發現?

一路跌跌撞撞走過來,我們可謂從新式教學走到老式教學, 最近貼出『德國的數學成績』一文https://moriajoel.blogspot.com/2019/02/blog-post_55.html,從中我深刻地體悟到,還是老式教學法比較適合ADD兒,對於曾經追求過另類教育的我,無非是一大警惕。的確,在實際的人生中,孩子兩者都需要,兩者方式都是學習,一旦牽涉到考試評量,很現實地,教育就會面臨規格化的困境,魚與熊掌不可得兼,新式教育強調個體性,卻又試圖以另一種方式把個體性規格化,在這種矛盾之中,新式教育如何取得平衡,老式教育只評量學科能力,新式教育包涵更多面向、要求更多能力,這些都成為評量的因素,對於有學習困難的小孩來說,反而變成更沈重的負擔。

在此,我不是在倡導,教育不應該重視個性、自主性、創造性,統統要回到死板保守。我覺得,當下教育的問題,不在於我們應該選擇老式還是新式,要死板還是創新,政治要靠左還是靠右,而是現在的父母對孩子期待太多,我們不應該期待孩子一次做太多事情,只不過是學算數而已,要會算、會寫、會溝通互動、最後還要建構式來培養創意,這種期待非常不實際,為什麼不單單讓孩子「算」就好了?不幸的是,父母只要聽到俱有意涵深遠、學習內容豐富、還能培養創意,不僅能夠為聽說讀寫算基本技能打下基礎,還能促進溝通互動、激發大腦發育,全方位學習的確非常地吸引人,視聽媒體似乎全都包下了這一切的優勢,但都不先想想孩子能不能應付,大家一窩蜂地盲目投入,最後得到的結果是,孩子適應不良。

老式的教學方式單純,沒有使用iPad,孩子每天所背的書包非常沈甸,裏面裝著的都是有影有形有重量的書,書上都是密密麻麻的文字,小孩不會喜歡啊!但是內容明確清楚,ADD兒學起來輕鬆容易。至於人生其他面向,如:創造性、個體性、自我探索發現、溝通互動、興趣愛好、科技奇幻、甚至宗教信仰等等,不能讓孩子自己慢慢來發掘嗎?非得要跟學校掛在一起?



2019年2月15日 星期五

德國的數學成績



Moria Flaig
11. Februar 2019




德國的數學成績

上週五德國中小學發下成績單,一轉眼一個學期匆匆而逝,回想一年多前所寫的『超低的數學成績』,諼諼當時敗給最簡單的一位數加減法。時隔一年半,諼諼的數學歷經換國境、換語言、換算法(德國採用推論法,不強調步驟),竟然起死回生,遑論一位數加減法,現在連多位數乘除法也已經上手。這半年來,歷經三次數學考試,表現都不錯,還常常跟媽媽說,好喜歡數學,說得我心花怒放,幸好之前在澳洲不好的經驗沒有留下陰影,分數好不好不重要,重要的是孩子喜歡學習。

發成績單之前,諼諼已經在盤算他的獎金了,彷彿一切都會在他的意料之中,孩子跟以前不一樣了,變得有自信了。成績單一拿回來,數學成績果然鹹魚翻身,比起最高分「極佳」,僅僅差一點:2Plus(注釋),咦!一年多前,學校老師不是說,諼諼有數學學習障礙嗎?

注釋:澳洲以A-E五等為評量方式,以C為中等,D為不足。德國以六等為評量方式,從最高到最低,依次為1、2、3、4、5、6。1代表極佳,2代表佳,3代表令人滿意,4代表尚可,5代表不足,6代表不及格。主科數學與德文,其中有一科不及格,必須留級重讀。因為小學生還不會看小數點,所以,1-2之間的分數,通常以2Plus表示,中學成績單則使用小數點。

對於一個學障兒來說,成績好壞早已不重要了,成績單只不過是個警報器,警鈴一響,媽媽馬上要去救火,現在火勢逐漸控制住。現在成績單只不過讓媽媽有個警惕反思的機會罷了,提醒媽媽要多去看孩子的強項,多讚美孩子的努力,弱項能補足就補足,不能專心不是孩子的錯,媽媽要去接受那道無法移除的障礙。

我只是心裡納悶,為什麼諼諼的數學在德國能夠得到高分,在澳洲卻只能得到低分呢?在前面的貼文『從識字障礙來看多媒體教學』中,我略微提到,問題可能是出在:教學方式的不同。

是德國小學的數學教得很簡單嗎?沒有哦!諼諼在澳洲已經升上三年級,到德國之後,是先回去讀一個月的二年級才升上三年級的,讀這一個月的二年級卻是至關緊要,這一個月我才發現,人家乘除法早在二年級就學完了,而且還要會餘數,嚇壞我這個台灣來的媽咪,在澳洲九九乘法要到三年級才會「正式」展開,之前所學的乘法只是概念而已,沒有實際演算,況且諼諼在澳洲只上了兩個月的三年級,老師根本還沒教,一下子除法要進入餘數,諼諼的數學能力又是特別差,那怎麼辦呢?諼諼一踏入學校沒多久,老師馬上主動邀請媽媽面談,老師早已發現,諼諼還不會九九乘法,直接了當地跟媽媽說了,暑假在家一個月,一定要熟練九九乘法,否則三年級的課程沒法兒跟進。

然而弔詭的是,以澳洲落後的進度、極差的成績、極度不好的計算能力,在德國卻能夠一下子突飛猛進。我曾經略微提到過,孩子進步的關鍵並不在於數學的難易度,德國小學數學教得真的很難,對於中途轉入的學生,適應上的確有困難,沒想到,對諼諼來說,純數字演練卻容易多了,這不是前後矛盾嗎?雙重特殊(2e)的小孩有一項別人沒有的特徵,難就是容易,容易反而較難,極為矛盾,面對這種矛盾,我已經習以為常了,多少已經能夠預測。

德國教學方式很傳統,使用課本以及系統化的習作本,重視計算能力,完全沒有什麼花俏的教學,沒有視聽媒體教學、沒有互動式學習,只有很死板的算,雖然死板但是對於諼諼這種患有專注力缺陷的小孩,卻是最為簡單明瞭,德國的訓練是毫無疏漏的「算」,諼諼很會算、很喜歡算、對於純數字情有獨鍾,特別喜歡系統化、並列在一起的算式(相類算式並列推論法,請參考如下算式)。而澳洲所學的建構式數學,要寫的步驟太繁複,對於對於不能專心、不能寫字的他,只要一寫,就卡住了,沒想到在德國卻遇上知己,完全不需要寫出步驟、重視視覺推演,更讓孩子高興的是,只需要用「看」就能夠算出來了,答案只要寫出一個數字,就行了。
975-7=
975-17=
975-70=
975-700=

讀者要抗議了,媽媽怎麼在這裡提倡標準答案教育,扼殺孩子的創造力,沒錯!對於學障兒來說,標準答案卻是他們的最愛,變化太多,他們無法應付,標準答案可以讓他們感到安全舒適,創造力可以表現在其他方面啊!只要學習內容明確,架構清楚,就算只需要寫出標準答案,對學障兒有幫助,又何妨呢?在德國的這半年中,我不得不說,這種標準答案的教育幫了我一個大忙,諼諼喜歡這種老式風格,喜歡重複、單調、呆板、系統化、密密麻麻的並列式,對於建構式教學法,那種重視遊戲、表達、敘述、分析、拆解、討論、互動、表情達意根本沒法度。因為專注力問題,又喜歡固執於習慣與程序,不但不喜歡變通,也沒有能力同時應付那麼多變化,老式古板的算式反而跟他很對味。

很多研究指出,ADD會嚴重影響到數學計算能力,尤其是心算能力,雖然諼諼算得很慢,也不時粗心大意算錯,但如果能夠讓他一個人專心地、慢慢地算,會有著驚人的表現,尤其對於大數的處理,比起我這個老媽媽,好太多了,用看的就可以算出來了,說他一年多前患有數學學習困難,誰會相信?

然而,專注力缺陷卻是到處留下軌跡,說是算數能力好,但是又不時卡關,沒關係,有數學課本來引導,數學本來就是抽象邏輯推演,用說的,孩子反而聽不懂,用看的,一看就明白。德國數學教學好就好在使用教科書,採用系統化算式並列(如上),看起來非常機械式、呆板、枯燥,好處是,應用視覺上的邏輯推理,只要孩子推理能力沒有問題,就算計算能力差一點、常常不專心、有疏失,不用解說,人人能夠理解。澳洲數學教學缺失也就在於沒有教科書,過於強調多媒體教學、分組討論、口頭傳授、團體活動,沒有系統、沒有教科書,對一個孩子來說,等於無跡可尋,孩子掌握不到邏輯、看不到系統,不知道要學什麼?學校所提供的媒體全部稍縱即逝,ADD兒有嚴重的記憶力問題,影片上的內容無法進入大腦之中。更重要的是,沒有時間空間提供一個安靜操作演算的機會,諼諼根本不明白學習內容為何?


這一、兩年來,我所關注的問題早已轉移到學障了,但我們還在澳洲時,還不知道孩子患有專注力缺陷,以我實地參與教學,早就隱隱地感受到,教學法與班紀的問題嚴重影響到孩子的專注力,雖然幾度與老師溝通,媽媽希望老師使用最簡單的方式進行教學,控制上課秩序,不然鬧哄哄的一群孩子,誰能夠專心?顯然地,學校不是為諼諼一個人而開的,政策無法為他一個人改變,吵吵鬧鬧的班紀無法為他一個人安靜下來。無論教學政策為何?立意再好,再多的理論依據,都只是紙上談兵,實際的學習環境卻是吵雜不安,孩子的大腦始終一片混亂,教育部門似乎沒有看到有特殊兒童的需要,既然當局認為建構式數學能夠減輕學習負擔,我們個人無法改變大環境,只能選擇離開了。

現在來到死板、重視傳統、紀律的國家,多媒體教學雖然有很多大學在研究,很多大企業砸錢贊助,急於想要做出成果,以數據來影響政策。但我知道,以德國人保守的民族性,不會拋頭顱、灑熱血地馬上投入多媒體教學,德國人不喜歡改變,喜歡一成不變,他們擅於隔山觀火、很會觀望,要先看別人家慘痛的經驗,再說!

很久以前,我來到這個國家留學時,那時全世界正如火如荼地全面展開電腦化革命,雖然電腦是德國人發明的,那時德國人對於全面電腦化,卻也只保守地採取觀望的態度,他們寧可相信傳承的可貴,也不會去相信機器。

今天我所收到的成績單,與澳洲那種電子成績單、網上登錄、網上下載比較,德國學校所發的成績單,家長不用上網下載,由孩子帶回家,我看到的是很傳統的一本成績簿,還是上個世紀初那種使用打字機所打出來的格式,還有著鉛字的韻味,百年如一日,真的是獨到。這時候,我不得不承認,教育有時候,是保守的好,趕流行,容易讓人迷失方向。


2019年2月7日 星期四

ADD認知風格:視覺型



Moria Flaig
30. Januar 2019





ADD認知風格:視覺型

ADD兒生性安靜乖巧,喜歡獨自一人在角落中靜靜地玩、看書、聽故事,仿若天使般的性格,表面上總是給人一種乖寶寶的印象,乖寶寶容易取信於人,容易讓人放心。然而,我們千萬不要被這種安靜順從的外表所矇騙,ADD兒做功課時,讓他一個人安安靜靜地坐在桌前一小時,媽媽回頭檢查一看,天使兒一個字也沒寫下,難道光是呆坐就能坐上一個小時,什麼事也沒幹?不無聊嗎?到底怎麼一回事?

就算家中沒有電視、電腦、音樂、噪音,儘量保持安靜,就算在沒有外來的刺激,ADD兒還是無法將心思放在作業上,為什麼?不只是外來的刺激容易讓ADD兒分心,大腦內部澎湃洶湧的思緒活動,往往讓ADD兒沉醉不已、無法自拔,彷彿腦中上演著更多精彩、更有趣的故事。可見,ADD兒的專注力缺陷不完全表現於外在行為,還表現在內在、看不見、頻頻轉換的心智活動,有時候不是外在刺激讓他分心,而是他自己讓他分心。

若是研究一下ADD的神經系統運作模式,我們就會發現,ADD兒有著迥然不同的認知風格:視覺型學習、全觀性思維、神經傳導方式以興趣為導向。患有ADHD的神經科醫生Dodson指出,ADHD不是一種俱有缺陷的神經運作系統,而是興趣取向的神經系統,與一般的神經系統不同。若是一一審視ADD兒的認知方式,我們會發現,皆是不可多得的好處,排除專注力的問題,諼諼真的是一個天使兒,我們要多去看他們的亮點。

與之相對應的則是ADD兒的弱點,也就是他們在學習中所要面臨的挑戰:聽覺記憶缺陷、步驟規則掌握能力薄弱、對於沒有興趣的事物表現出嚴重的學習障礙。然而,為人父母,要多去看孩子的亮點,以優勢彌補缺陷,多鼓勵孩子,自然能夠克服學習障礙,多瞭解ADD認知風格,自然可以找到適合ADD兒的學習方式。

在眾多的ADD認知風格中,本文先討論視覺型學習,以後再陸續介紹其他認知上的問題。我以前曾經寫過一篇『空間型學習者』https://moriajoel.blogspot.com/2017/10/blog-post_27.html,也就是一般所謂的「視覺型學習者」,當時我為什麼提出「空間型學習者」的說法,而不直接說是「視覺型學習者」呢?一年前還未明瞭諼諼中文識字障礙的根源,所謂「視覺型學習者」指的當然是擅於使用視覺神經管道來學習的人,然而,諼諼在視覺與聽覺兩種不同的神經接收管道上,卻表現出認知上的矛盾。

諼諼很會背書(請注意!他不識字,無法看書背),課文聽過一次就背起來了,我順著課文指讀,他都讀得正確無誤,經過一段時日之後,卻發現,他、根、本、不、識、字,怎能說是個「視覺型學習者」呢?每個字我都一一指讀啊!怎麼一個字也沒記住?英文也是以同樣的方法逐字指讀,學會了英文閱讀,學德文閱讀時,方法沒變,一夜之間就學會了,學得非常快速迅捷,中文指讀卻完全沒有用,這讓媽媽誤認為孩子不是個視覺型學習者,而是個典型拼音文字文化下的聽覺型學習者。

日後診斷出孩子的聽覺記憶受損,患有ADD,不識字,卻很會背書,若說是聽覺記憶受損,視覺記憶強,不是矛盾嗎?視覺記憶強,怎麼對漢字完全無法進行視覺記憶?完全靠聽覺來記憶,這根本解釋不通嘛!

在這裡,我的重點不是在論斷孩子到底是視覺型還是聽覺型?而是試圖想要瞭解孩子接收儲存訊息的方式,以此來找到適合孩子的學習方法,幫助孩子克服學習上的障礙。這一年來,我應用閃字卡來改善孩子的識字能力,赫然發現閃字卡竟然這麼有效,諼諼果然是視覺型學習者,原來當初媽媽只知其一,不知其二,孩子的中文識字障礙,有著外表觀察不出來的因素。

經過不斷的觀察與思考,既然中文識字的關鍵在於字形與字音兩者之間的連結是否順利無阻?那要看視覺與聽覺兩種神經管道是否能夠同時配合運作?當視覺與聽覺兩種神經管道同時進行時,孩子卻表現出學習障礙,哪個關節出了問題?是視覺記憶?還是聽覺記憶?日後看了職能師的測驗,才知道原來問題是出在,孩子的分開性注意力(Divided Attention)特別差,也就是同時處理多種感官刺激來源的能力差,遂造成大腦要同時記憶視覺(字形)與聽覺(字音)雙重管道訊息有困難。

所謂分開性注意力,就是一種同時會聽、會看、會寫、會說的能力,例如:在看書時,又同時能夠聽到有人在跟你說話,諼諼在讀書時,要非常地大聲喊他,他才會注意到。原來,諼諼在聽媽媽讀課文時,根本無法看字,就算有看字,視覺刺激在訊息篩選的過程中都被篩選掉了,訊息最終傳導不到大腦裡。或是,有在看字,但是耳朵卻聽不見字音,聽覺刺激同樣也是在篩選過程中,傳遞不到大腦裡。是什麼阻礙了訊息篩選的過程呢?我認為是多元神經刺激,多元神經刺激能夠幫助一般兒童學習記憶,同時運用視覺、聽覺、觸覺、嗅覺最有利於訊息的接收儲存。但這對於ADD兒來說,卻會干擾學習記憶,中文識字的困難點即在於,視覺與聽覺記憶「必須」同步進行,ADD兒往往無法同時接收不同管道的神經刺激。

為了進一步瞭解諼諼不識字的不解之謎,我使用側重視覺神經傳導的閃字卡,果然能夠改善孩子中文識字的能力,視覺取向這個路徑是對的。注意力測驗也顯示,其實諼諼是個視覺記憶不錯的孩子,這也符合一般研究結果。按理說,諼諼應該擅於識字,不擅於背書啊!為什麼每個字都看起來很陌生呢?承上文,既然中文識字的障礙產生於,視覺與聽覺記憶同步進行有障礙,中文識字有困難的兒童所面臨的挑戰,可能不只是在於克服AD(H)D聽覺記憶缺陷而已,更嚴厲的考驗是在聽覺+視覺雙管道神經刺激之下,訊息是否能夠同時順利通過篩選?通過篩選之後,工作記憶是否能夠順利接收訊息,接收之後,是否能夠順利儲存於大腦之中,儲存於大腦中之後,訊息是否能夠順利再度被提取?

中文識字與拼音文字不同,拼音文字見字即聽到音,而中國字卻需要一面記住字形(視覺記憶)、一面又要記住字音(聽覺記憶),必須視覺工作記憶與聽覺工作記憶同步配合進行,需要雙元神經刺激管道並行,ADD兒不善於multi-tasking,分開性注意力(Divided Attention)不佳,無法一面記住字形、一面記住字音,當然對中文識字倍感吃力了,孩子一感到吃力,無論媽媽指讀多少次,孩子一個字也無法記住,孩子只有感到沮喪挫敗。

啊!多元刺激不利於患有注意力缺陷的小孩,從這個面向來思考,就可以瞭解到,為什麼會有3C產品造成過動的說法了。根據研究,3C產品與專注力缺陷並沒有直接的因果關係,我家是無螢幕家庭,還是產生了ADD兒。畫面變化迅速的螢幕的確是追求刺激的過動兒的最愛,多元刺激可以迎合孩子,但要小心!這並不代表能夠解決孩子學習上的困難,很多學校為了迎合孩子,因而採用多媒體教學,這種風潮卻大大不利於患有注意力缺陷的兒童,為什麼?

承上文,多媒體是多元神經刺激,某種程度能夠幫助正常兒童學習,但是對AD(H)D兒不一定有幫助,甚至會妨礙學習。那是因為,患有注意力缺陷的小孩,通常無法進行多元神經傳導。若仔細觀察,我們會發現,孩子在聽時,就無法看;在看時,就無法聽;在寫、在看時,完全聽不見;學校課業中,最大一項挑戰就是抄寫,ADD兒往往沒法看著寫,中文筆畫多,邊看邊寫,臨摹仿寫十分困難;聽寫更是吃力,因為同時要聽、要看、要寫、又要回憶字形,變成了不可能任務。

回頭比較澳洲小學與德國小學,從兩種不同的教學系統來考察,可以得到一個初步的解釋,為什麼多媒體不利AD(H)D兒呢?澳洲小學實行多媒體教學,當初我可是每星期固定去學校陪諼諼上課,對於學校的教學方式非常地清楚,例如教幾何,沒錯!就是讓小孩看教學影片。很好啊!看影片,不是重視視覺刺激嗎?很適合專注力缺陷的小孩啊!的確,所有的小朋友的確看得很開心,之後分組討論,老師要小朋友寫出,一個骰子有幾個角?幾個面?幾條線?現在問題來了,小朋友的確看得很高興,但不一定把畫面上的訊息全部接收到大腦之中,諼諼問題回答不出來,同一班級所有的小孩一起看影片,諼諼的理解力就比其他小孩遲鈍嗎?

澳洲小學沒有使用教科書,更沒有使用系統化的習作本,只看影片、只使用iPad、老師根據影片做些講解,然後要求小孩子解答傳到iPad上的問題,這種教學法有沒有問題?老師沒有想到一點,影片並不是在所有的小朋友腦海中留下深刻的印象,幾何學又使用一堆奇怪的名詞,又完全沒有課本可供參考思索,沒有系統化的習題來架構知識,影片演完了,一切也就結束了,諼諼看得很高興,卻什麼都沒記住,回頭一看習題,根本不知道老師要他寫什麼?是孩子空間認知不佳,不適合學習幾何學嗎?非也!非也!是教學方法不當!

來到德國之後,諼諼最愛的就是幾何,怎麼會這樣呢?正是因為德國小學使用課本,使用系統化的習作本,嚴格禁止看影片,課本的解說非常清楚,諼諼一看就知道,但是澳洲那種偏重看教學影片、看iPad投影、聽老師解說的教學方式,對於諼諼這種小孩一點幫助也沒有。諼諼對於德國數學課本上的幾何圖形喜歡得不得了,兩本習作本上的練習自己統統做完,課本上的圖形是固定的,完全不會動,可以悠哉悠哉地讓他盡情研究、用尺量、用尺畫、分割成幾個部分、塗上色彩,一個對於機械視圖有高度興趣的小孩,能夠看到一大堆奇奇怪怪的圖形,當然是最快樂不過的。所以我才說啊!對於ADD兒來說,多媒體教學不一定會比較好。課本是單一視覺媒體,不會發出聲音,畫面不會移動,單一不一定就不好,這反而會讓ADD兒學習時更為專注,學習起來輕鬆自在。

既然ADD兒視覺記憶比較好,因此,在學習上,我們要擅於利用孩子認知上的優勢,儘量利用視覺神經傳導的照相原理來讓孩子學習。以我的經驗,最有效的方法是使用閃字卡(請參閱『善用閃字卡』https://moriajoel.blogspot.com/2017/12/blog-post.html),適度地將學習內容製作成閃字卡,像是英文單字閃字卡、數學閃字卡、國字閃字卡等等,儘量透過視覺神經刺激的單一管道來學習,捨棄以書寫來識字,ADD兒難以透過寫字來記憶字音字形,很多ADD兒同時患有書寫困難,不應該讓書寫的障礙造成識字障礙。閃字卡一方面可以強化字音與字形之間的直接連結,另一方面可以排除其他讓孩子分心的因素,像是課本的插圖、或是上下文、其他的字、甚至字的位置,都會讓孩子分心,影響孩子對於字形本身的記憶力。最重要的是,孩子不用自己寫。

閃字卡應用的正是視覺上照相式記憶原理,孩子不必自己寫,可以降低手寫的障礙,增加學習效率。一頁密密麻麻的課文不利於ADD兒,大家有沒有發現,課文越長,孩子精神越是渙散?而閃字卡,只有一個字而已,一卡一字,孩子注意力比較能夠集中,特別適合患有專注力缺陷的小孩使用。此外,以特定的方式操作,還可以訓練孩子的工作記憶,如何以閃字卡來訓練工作記憶?這是我的獨門祕方哦!關於這一點,我以後會介紹,請大家拭目以待。(貼文已經寫成了,情看『ADD閃字識字法』https://moriajoel.blogspot.com

回想一年多前,諼諼被學校老師說是有算數障礙(請參閱『超低的數學成績』https://moriajoel.blogspot.com/2017/09/blog-post.html),中文識字也全軍覆沒,為了搶救數學,沒有時間,中文識字被我冷凍了一年,如今一年多過去了,風暴逐漸平息了,諼諼也轉到德國(請參閱:『諼諼轉學了』https://moriajoel.blogspot.com/2019/01/blog-post.html)。當初被視為有數學障礙的孩子,現在最愛的科目卻是數學,雖然他算的速度非常緩慢,處理速度慢(proceeding speed),但是他數學理解能力的確比起同齡兒童強出很多。中文識字障礙,經過我獨門祕方調治,識字越來越快了,看到孩子在努力、在進步,媽媽甚感欣慰。

回顧過去這一年來,媽媽的心情像是坐雲霄飛車一般,驚心動魄、忐忑不安,但我一直對孩子有信心,不願意放棄,我相信孩子天生俱有非凡的能力,只是有某種看不見的障礙阻礙孩子前進,最後,我也找出了障礙的根源,對症下藥,找到了方法來幫助孩子,甚至轉學離開不利於孩子的環境,終於在新的學習環境中,看到了孩子天天在進步。

障礙本身雖然不能移除,它可能會永遠存在在孩子身上,但是越是瞭解孩子,我在看ADD時,越看越透明,縱使孩子拖拖拉拉沒效率的行徑,老是惹得我一肚子火,然而,不專心不是孩子的錯,而是一種無法移除超越的障礙,媽媽不能怪孩子,而是要接受這個事實。



2018年2月9日 星期五

語言與建構式數學



Moria Flaig
2. Februar 2018




語言與建構式數學

建構式數學到底是怎麼來的?先撇開皮亞傑兒童發展心理學不談、還有歐洲維也納學圈成員之間複雜的關係。真正啟動建構式數學的興起是另有原因,主要是教育界為了培養兒童自主思考、自主解題的能力,所發展出的一套透過討論、解析步驟、主體建構、自主思考的數學教學法,揚棄傳統機械式演練、標準算式、死記九九乘法等教法,回歸到兒童心智最自然發展的模式,試圖找出一種最適合兒童思維的解題方式,以此來教導兒童學習基本算數。

無論是維也納學圈的理念也好、兒童心理發展也好、自主性思考學習也好,這些都是建構式數學的一環,然而建構數學發展的來龍去脈不是本文所要探討的重點,這裡所要討論的議題是,為什麼學者會認為建構式數學的思路最適合兒童心理發展?

那麼我們要從語言談起。早期心理發展中,兒童最先接觸的是語言,語言也是兒童最早使用來溝通的媒介,再來才是文字符號。因此本文試圖從語言面向來考察,建構式數學是否真的符合兒童的理解方式?

我曾經在網上讀到一篇談論建構式數學的文章,約略提供了一點線索,作者正是從語言面向來談,說建構式數學是洋人搞出來的花樣,不適合中文學習者,美國人為了讓數學教學更適合本國的語言,讓兒童在心智操作上更為容易,因此發明了建構式數學。此話怎講?

作者的觀點還包括了,英文是十二進位之說,因此在英語國家九九乘法是背到十二,不是背到九。讀到這裡,我不禁地抬眼望了一下我家牆上的乘法表,正是十二進位。我和我家爸爸曾經為此激烈地討論過,為什麼英語國家的小孩要背到十二?不僅是難背,而且還畫蛇添足呢!若將英德兩語相對應來看,11=eleven=elf;12=twelve=zwölf,那麼德語也是十二進位嘍!但是爸爸小時候並沒有背到十二啊!

仔細檢視這個說法,其實是有問題的,嚴格說來13、14、15、16、17、18、19這幾個數字,是先讀個位數、再讀十位數,英語的讀法與阿拉伯數字的寫法剛好倒反,難道我們就因此要說,英語是二十進位嗎?不是!諳熟德語的人就知道,這種數字系統還保存於德語中:不只是二十以內是先說個位數、再說十位數,並且貫徹到99。英德兩語除了11之外,二十以內的數字皆是從個位數說起,此外,德語的12與英文的12發音接近(twelve=zwölf),都是先讀2,只不過英語的two(德語:zwei)在發展的過程中,w的音逐漸消失,但在書寫上還保留著原有的風貌,英德兩語的12,的確都是先說個位數、再說十位數,由此,我們可以推翻英語是十二進位之說。

整體而言,英文二十以內的兩位數,與阿拉伯數字的寫法並不一致,是先讀個位數、再讀十位數,於是數字的讀法與語言有了衝突,我在學校當數學媽媽時,就發現不少小朋友的確會把個位與十位的位置混淆倒置,例如:把fourteen寫成41,因為他們從小學說話時,是先說「4」啊!

為了要解決這個問題,在實際的教學中,澳洲小學在教建構式加減法時,的確是讓小孩子背到二十的,這讓我看來覺得特別不可思議。相較而言,中文與阿拉伯數字同步,加減法根本不需要背的,為什麼學建構式數學卻要背呢?正是因為建構式數學並非先算個位數,其實二十以內加減法以進位借位法來計算最為直接,然而建構式數學是為了以後而鋪路的。根據這條線索來看,我想這種教學設計原本是為了幫助低年級的兒童,跨越數字與語言之間的鴻溝,二十以內的數字語序與阿拉伯數字互相衝突,要求以「背」來克服,這與英語的數字系統無不息息相關。

反觀中文,不但是整齊的十進位,而且完全沒有二十進位的困擾,中文的讀法、順序和單音節的節奏感與阿拉伯數字完全吻合,加減法就算沒有背,學童在心智操作上也不會有困難。中文的九九乘法表背起來不僅是有韻律有節奏,與阿拉伯數字同步、嚴密接軌,特別容易記憶;反觀,英文的乘法表非常難記憶,況且英文還是印歐語系中最精簡的語言,但還是比中文難背的多了,為了不用背,於是有了建構式數學。然而建構式數學乘法的計算方式繁複,反而不適合中文的學習者了,對於中文學習者,記憶乘法表還是比較容易一些。

作者還舉了一個加拿大人的例子來說明中文數字系統的優點,這個加拿大人學了中文之後,牢記中文乘法表,一概使用中文做算數,心智操作起來竟然比自己的母語法語還要容易,連外國人都愛用,我們怎麼好意思捨棄呢?那是因為法語從70起,必須使用加法和乘法來說數字,法語並沒有70、80與90等概念,例如:無法直接說93,而是說4x20+13,法語正是一種二十進位系統(但是60並非3x20;40也非2x20),想來法國人的祖先在算算數時,連腳趾頭也用上了。總之,若是使用此數字系統來背九九乘法,保准你頭昏腦脹,難怪連母語法語的人士也不是很欣賞。的確,當初我教諼諼學法語時,只「敢」教到20幾,之後就隨緣了,為了避免孩子混淆不清,不敢多教,太恐怖了!

綜觀,若說建構式數學起源於,美國人為了讓小孩子克服數字與語言之間的隔膜,所設計出來的一套教學法,乍聽之下還蠻有道理的。以建構式數學的拆解法來計算28+25=?算式是:28=20+8;25=20+5;20+20=40;8+5=13;13=10+3;40+10+3=53,一共六個步驟。將數字拆解成十位數和個位數之後,然後先加十位,再加個位,不但適合英語語序,也適合中文思維模式,但先計算十位、再計算個位,卻不適合德語思維了。因此,我們幾乎可以斷定,德語國家不會採用建構式數學?

回德的時日近了,這個說法不由得讓我聯想到,難道進位借位法是德國人發明的?進位借位法所採用的方法正是先計算個位數,對德國人來說,語言與數字之間不會有隔膜。以同樣的例子來說明:28+25=?如果使用進位借位法來算,只需要兩個步驟就可以完成了,心算好的兒童甚至能夠一步到位,但是要先算個位、再算十位,然而德語的數字系統正是先思考個位數、再思考十位數,順序與進位借位法一模一樣。在使用進位借位法時,英語系的兒童必定遭受到語言上的困擾,因為必須先算個位數,不但不符合英語的習慣,也不符合中文的習慣,卻符合德語的語言習慣。英語二十以內的兩位數,還保留著德語的數字系統,但二十以後則消失了,德語則將這個系統貫徹到99。因此我們可以得到一個結論:進位借位法是德國人發明的?這當然是我自己枉下斷言,並沒有詳加考證過。

但我們似乎可以看出,建構式數學並不適合德語學習者。28+25=?以德語思考的話,先計算個位數最為直接,根本不需要將數字拆解成:28=20+8;25=20+5,然後十位加十位,個位加個位,所得最後再相加總,拆解的這道手續根本是多餘的,因為德語數字系統就是先說個位數,進位借位法是先算個位,對於使用德語的人來說,進位借位法反而是最直接、最適合兒童的思維。

看來,傳說中,建構式數學比較適合幼兒的心智其實是一種迷思,以語言的觀點來看,各國數字系統不一,在心智操作上,建構式數學不見得適合每一種語言,也就是說,不見得適合每一個兒童,建構式數學的理念雖然來自兒童發展心理學,但是計算方式卻不一定符合兒童心理。

如今諼諼跟著建構式數學走到乘除法了,從中我也看到了一些建構式的優點,尤其是以拆解法來算乘除,特別適合中英文的思維模式,也就是先計算十位、再計算個位的邏輯,但前提是必須熟背乘法表,否則拆解與累加繁瑣的程序,會讓整個算式變得很長很長,這反而容易會讓兒童混淆。

升上三年級之後,諼諼就順著二年級時所學的拆解法,來計算多位數乘除法,我還發現,這種方法並沒有一般批評者說的,步驟繁多、算式冗長的缺點,若是與乘法表靈活併用,反而很適合年幼的學童來學習。例如:26x7=?諼諼的算法是:20x7=140;6x7=42;140+42=182。使用的正是代數的分配律,學校既然以拆解法來教加減法,順著同樣的思路,諼諼也以拆解法來算乘除,建構式數學讓他意外地發現了分配律。

根據NSW州政府所頒佈的教綱,澳洲小學四年級的兩位數乘法、五年級的三位數除法,所教的正是這種拆解式乘除法,但前提是要求熟背九九乘法,請注意!不是不用背哦!到了中、高年級階段,澳洲並非死守建構式的累加法來教乘法,卻延用低年級所學的分解法,讓學童以同樣的方法來進行乘除法的計算,最後才有正式的直式算式的出現。

可見,澳洲小學也不是完全捨棄直式計算,只不過等到高年級才會教罷了!在低年級和中年級階段很有可能是為了英文語序的問題,所以要求學童將所有的數字拆解成:百位+十位+個位,然後再分別計算,以此法來幫助學童跨越數字與語言上不同的障礙。因為直式必先計算個位數,順序與語言完全相反,因此在低、中年級還是以拆解法為主。

在這裡特別要提到一點的是,直式算法先算個位數,雖然完全符合德語思維,然而德國人並不使用直式算式,他們以橫式就可以直接計算了,以前我總覺得他們好厲害,橫式一看就可以直接計算,我卻要改成直式。但現在想來,其實這無不與他們的語言習慣有關,因為中文是先說十位數,使用直式好對位,並有利於進位借位的操作。這對於使用德語思考的人而言,直式橫式兩者差別並不太大,因為他們正是先思考個位數、再思考十位數的民族,因此以橫式也可以直接使用進位借位來加減,沒有什麼障礙。

從語言這個面向來考察,其實無論建構式還是傳統式,都有其背景和考量,到底哪一種最適合兒童的思考方式呢?其實難說喲!建構式數學的興起,與其說是力圖與兒童最本然的思維接軌,不如說是,教育者為了協助兒童理解數字系統,並跨越本國語言與數字之間的差異,所做的一番努力罷了!



延伸閱讀

專注力缺陷
http://moriajoel.blogspot.com.au/2018/01/blog-post_25.html
建構式數學
澳洲小學怎麼教算數:二
澳洲小學怎麼教算數?
系統轉換困難:數字
系統轉換困難:語言文字
識字一定要直接
善用閃字卡
中文識字必須量身定做
從中文識字來看數數障礙
跳躍型學習者


2018年1月20日 星期六

建構式數學


Moria Flaig
18. Januar 2018



建構式數學

我最近在部落格上貼文『靈活的教法其實不靈』http://moriajoel.blogspot.com.au/2018/01/blog-post.html抱怨澳式數學,主要的問題是,多樣化的算法反而不利於自動化,對於學障兒來說,這樣的教學法不是助力而是阻力。我的直覺告訴我,這種新數學不一定是澳洲產品,不是來自美國就是來自英國,英語系國家在教育體制上互通一氣,從美國到澳洲的歷程,我有深刻的感受,澳洲在制度面往往與英國亦步亦趨,從英國搬來的媽媽也說,在英國低小算數也是這樣教,按這個線索我在網上多次查詢英國的數學教育,毫無斬獲,因為不知道關鍵字,還真的無法查起。

後來卻得到台灣的老師指點迷津,說是教改數學,我鍵入「教改數學」之後,螢幕直接跳出的是建構式數學,這種數學不是什麼澳洲產品,而是來自美國,也稱為新數學。然而「建構」兩個字引起我的注意,何謂建構式?在台灣提倡建構式數學的史英解釋說,這種數學教育本源自於皮亞傑發展心理學,於是我的腦中快速閃過,自己十五年前在德國畢業口試中還真的有這麼一道建構主義,建構式數學與我學的溝通理論中的建構主義有什麼關係?欸!人腦是一個封閉系統,互為主體性的溝通終究是個不可能實現的烏托邦。我在腦中閃過幾個簡短的概念之後,塵封往事,懶得去掀起一陣灰。言歸正傳,說來自己還曾經是個建構主義的信徒,諷刺的是,十五年後自己的孩子卻被建構式數學打敗,現在卻作文反對起建構式數學,說來還真是矛盾。

讀了史英的文章和相關研究之後,我必須說,他們所說的建構主義與我所認識的建構主義有很大的出入。從溝通系統的封閉性這個思路來看,人腦是個封閉性體系,透過教導、灌輸都無法讓兒童學習,只有讓兒童自己建構起自己的知識體系,學習才有可能。然而,在此我不是要討論,在台灣推動建構式數學的人士所倡導的「建構式」是不是符合建構主義原本的精神,更不是要以此來評論,建構式數學是不是因為台灣的考試文化而導致僵化的結局。而是要探討,建構式數學即使不是在台灣,在澳洲也一樣會有弊端出現,問題在於方法本身,而非外在文化因素。

根據史英的解釋:「什麼是建構式數學?簡單的說,人類對於事物的了解不是從外界灌輸得來,而是他自己摸索體會所得。摸索體會,如果用比較專有名詞來講就是「建構」—─建立起結構的意思。這個理論最開始是皮亞傑研究認知發展所提出來的。一個孩子要學會一樣事情,認識一個事情基本上要有一個結構。這個結構是重要的,因為知識不是零碎的片段,東一點西一點,必須有完整的結構才算對整件事情有通盤的了解,才能夠加以應用。這個結構,不可能透過別人灌輸給他,必須自己像蓋房子疊積木一樣,一點一滴地建立起來。」資料來源:http://www.dyjh.tc.edu.tw/~t02007/10.htm

其實史英所強調的:「人要從內在開始建構他的知識才行。」和自學界所強調的自主性、適性、個體性、非體制教育其實是一致的,每個兒童的個性、專長、理解方式皆不同,因此學習必須要經由兒童自己探索、發現、思考來達成,而非我們成人以外力強加施予就能夠習得知識。我想其中的差異只是,他們強調建構,自學強調自主性學習與給予探索機會。


然而這個耐人尋味的「建構」兩個字,搬到數學教育就出現了建構式數學。最原本的精神是要讓孩子們透過自行討論,建構出一套自己的計算方式,擺脫傳統的標準計算法、死記乘法表、代數公式的學習方式,鼓勵孩子去發掘自己的計算方式,重視學習過程,不重視結果。這種重視過程,不只是看答案的教育,出發點是很好沒錯,為什麼會失敗呢?學者們說是,因為台灣教育界長久以來僵化的風氣所致,無法讓建構式數學發揮原本的多元化的面貌。乘法以累加法計算,本來是讓兒童自行思索出自己的計算方式,讓數學思考更多樣化,不應該依照九九乘法表機械式背出,而沒有經過思考。然而考試文化的結果,最後建構式數學在台灣卻流於,非用累加法不行,有背九九乘法表的兒童,使用乘法表計算,老師一律算錯,教學走向僵化一路,教改因而失敗。


此外,台灣在實行六年的建構式數學之後,第一屆建構數學兒童進入國中後,因為計算能力差,學了六年數學還不會乘法表,段考成績低落,引起家長的恐慌,民眾向教育部門施壓,教育部不得不剎車喊停。然而讓建構式數學失敗的真的是「標準答案」文化導致的嗎?

澳洲所施行的正是這種新數學,21+16=?不能直接回答37,必須拆解成:21=20+1,16=10+6,1+6=7,20+10=30,7+30=37。步驟繁瑣的計算方式,剛好不是諼諼這種學障兒所擅長的。對此我必須說,建構式數學的失敗不是「背書文化」造成,依我來看,就算在澳洲沒有教科書文化、沒有「標準答案」的包袱,建構式數學走向僵化是必然的,甚至更甚於「背書文化」,為什麼呢?因為建構式數學算法過於瑣碎、步驟繁多,尤其對於年紀小的小孩(澳洲普遍四歲入小學),他們的記憶力與理解力還不到能夠駕馭多步驟的階段,連最簡單的加法都要使用這麼多步驟,孩子腦子轉不過來時,最後的結局就是:背!而且學校真的要求家長在家貫徹執行。


當初的提倡建構式數學的初衷不是在於,是要讓孩子自己建構出最本初、最自然的計算方式,老師只是引導而已嗎?然而什麼是孩子最本初、最自然的建構式學習?那就是扳指頭計算加減,算久了大腦就會自動化,內建起心算能力。然而教學現場搬到澳洲,會是如何呢?沒有比較好,一樣走向僵化的命運。澳洲沒有教科書文化、有沒有「標準答案文化」我是不知道啦?但是建構式數學說是要幫助小朋友從一開始就內建心算能力,不但以更複雜的分解法來取代步驟簡單的進位借位法,為了要讓小朋友戒掉使用手指頭的習慣,現在連加法都要背起來耶!我們家長都被要求在家操練二十以內的加減法,後來還擴大到二十五。我就很納悶,既然要他們背,那為什麼還要他們學各種計算策略呢?既然要求他們只能心算,不能用手指頭,為什麼不採用步驟最少的方法,步驟繁複一定是不利於心算啊!尤其是跳躍式計算策略,9+8=?要在腦海中跳八下,才能算出17,而且不只是要跳,還要跟著數,心智很難操作耶!


乘法更是個大災難,過去式數學是背九九乘法表,建構式數學說是不必背了,累加就行了,矛盾的是加減法本來不必背的,現在反而要背?乘法表本來應該背的,現在卻不必背了,這是什麼道理?累加法不但導致計算緩慢,以前只需要兩三個步驟就能夠完成的計算,現在要寫出十個步驟才能完成。這對於學障兒更是一大災難,諼諼原本寫字就很吃力了,要他寫十幾個步驟,簡直要命,算個簡單的乘法老是頻頻塗改,出錯機律大幅度提高,在這麼長的計算過程中需要高度地集中精神,對於專注力和記憶力都是一項考驗。

學校也知道不背九九乘法的後果是什麼?於是從最「自然」的數數著手來改善,但這卻加深「背數學」的悲慘命運。聽說他們在Preschool就開始背,整個低年級階段更是要求學童不斷重複唱數兩個一數、三個一數、五個一數、十個一數,而且統統要數到一百,而且統統要會「背」倒數,我們沒有上過Preschool的,收到百數表在家讓孩子背。不但如此,到了中年級他們還要會唱數四個一數、六個一數、七個一數,八個一數、九個一數,難道這與背九九乘法表會有不同嗎?最終還是脫離不了「背」的命運。我們都知道大部份兒童都能夠自行發展出兩個一數、五個一數、十個一數的能力,根本不需要背,但是學校在低年級時額外引入了三個一數,諼諼現在二升三了,三個一數背了一年,還是不會背,老實說,我自己也不會背,更不會倒數,為什麼孩子要會背呢?乘法表本來背到3x9=27就行了,搞到最後,三個一數卻要背到一百,乘法最終還是脫離不了背啊!而且比起過去式,建構式背得還要更多,建構式數學不是說要反對「死背文化」嗎?


沒背過的家長還真的是吃虧倒霉,因為學校不負責訓練背,要求家長自行在家練習,在學校老師會一個個地問。背還不打緊,而且還要學各種瑣碎的算法。以前我們只要學進位借位法一種方法就行了,現在算法不但繁多繁瑣、而且老師要求每個步驟都要解釋,美其名是說訓練孩子討論、思考、表達、多元解題的技巧,其實更慘,孩子為了避免那些麻煩的解釋,老師嘮叨的詢問步驟,二話不說先隨口說出答案再「想」,這不是逼著孩子不先思考,先把答案「背」出來嗎?這種教法還能夠讓孩子思考嗎?


再者,何謂多元?學習多種算法就一定等同於多元式思考嗎?老師在實際教學時,能夠多種算法同時教嗎?哪有可能,一定是教了一種算法,在評量、確認所有的學生都會算之後,再教另外一種。評量時嚴格要求解釋步驟,查看學生有沒有按照老師教的算法算,不然幹嘛還教呢?最後的結果是學生學了很多方法是沒有錯,表面上看起來很多元,但在實際評量時,只允許一種算法,因為老師引導的方式是一個步驟、一個解釋,最慘的是,在這麼多算法中,孩子卻不能自由地只選擇一種算法來回答問題,我有特別問過老師,是不是所有的算法都要學?是不是每一個步驟都要會解釋,答案是:YES。這樣教有沒有達到多元思考的結果?有沒有允許孩子自己思考呢?根本沒有!孩子只會感到他自己的算法不被老師接受,而且最大的困惑是:為什麼同樣的問題,不久之前老師要求那樣算,現在突然又改了呢?為什麼我的算法老是被改正?到底要怎樣算才是正確的?

為什麼要用「口」算?不用筆算直接寫出答案就行了呢?以建構式數學的精神來說,為了要去一元化,強調多元化算法的結果,只能用「口」算了,因為筆算不但看不出計算過程,也無法解釋計算步驟,老師控制不到啊!筆算容易讓小孩子只願意使用一種方法,為了貫徹多元化,唯一的方法就是口頭評量,老師一個步驟一個步驟地問,檢查學童是怎麼算的,這時才看得到計算過程,孩子才能夠學會解釋,這樣才符合建構式重視解釋、言說表達、互動溝通的精神。美其名是讓孩子以自由討論的方式自行建構出自己的算法,然而凡事以口頭評量的結果,真的能夠讓孩子自由思索計算方式嗎?根本不是那一回事,正如上述,老師進行口頭評量時,學童能不能堅持使用自己的方法?不能!學童能不能拒絕解釋算法,也不能!堅持自己的算法,老師就認為沒聽懂、沒學會嘛!收到的成績單當然是超難看。


一張算式,讓孩子自己盡情發揮不是更好嗎?第一、不用嘮嘮叨叨地解釋步驟,第二、孩子完全可以按照自己的想法去計算,愛怎麼算就怎麼算,甚至用手指頭都沒關係,反正老師看不到,為什麼多元化不能以自由的方式產生呢?為什麼要強制執行呢?


如果台灣教改的敗筆在於考試文化的單一性,那澳洲的失敗難道是在於多元文化的強制性嗎?正是如此!建構式數學在實施時必然會走向這種僵局,多元化只會加深孩子學習的負擔,過去只需要學一種,現在要學習很多種,學校並沒有讓孩子自由選擇一種,我的孩子有學障,而且不懂得變通,為什麼學校要加重他的負擔呢?溝通互動更是誤會一場,一個六、七歲的學童,還沒有能力做歸納、綜合、分析性、多種可能性的思考,美其名是以溝通互動來從事多元思考,最後結果是,多元化路徑都是必須經過老師強加灌輸才有可能達成,因為學童不可能自己討論出多元的路徑啊!建構式數學不是說,老師只是引導而已,哪有可能?一群、七六歲的小孩自制力沒好到靠著引導就能夠學習啦!

的確,澳洲學校沒有考試、沒有處罰,孩子無法具體地感受「強制性」在哪裡?唯一感受到的是不被接受、不被理解的痛苦。諼諼是一個極度一元性的孩子,不會變通、不喜歡改變。如果一個喜歡單一、只吃燕麥片的孩子而不被多元化體制所接受,這個體制卻大談多元化思維,這不是一種謊言嗎?




延伸閱讀:

語言與建構式數學
http://moriajoel.blogspot.com.au/2018/02/blog-post_9.html 
專注力缺陷
http://moriajoel.blogspot.com.au/2018/01/blog-post_25.html
高潛能+低成就
http://moriajoel.blogspot.com.au/2018/01/blog-post_89.html
澳洲小學怎麼教算數:二
http://moriajoel.blogspot.com.au/2017/12/blog-post_31.html
澳洲小學怎麼教算數?
http://moriajoel.blogspot.com.au/2017/09/blog-post_30.html
系統轉換困難:數字
http://moriajoel.blogspot.com.au/2017/12/blog-post_24.html
系統轉換困難:語言文字
http://moriajoel.blogspot.com.au/2017/12/blog-post_21.html
識字一定要直接
http://moriajoel.blogspot.com.au/2017/12/blog-post_11.html
善用閃字卡
http://moriajoel.blogspot.com.au/2017/12/blog-post.html
中文識字必須量身定做
http://moriajoel.blogspot.com.au/2017/11/blog-post_14.html 
字盲
http://moriajoel.blogspot.com.au/2016/08/blog-post_47.html
從中文識字來看數數障礙
http://moriajoel.blogspot.com.au/2017/11/blog-post_8.html
跳躍型學習者
http://moriajoel.blogspot.com.au/2017/10/blog-post_30.html

2018年1月3日 星期三

靈活的教法其實不靈



Moria Flaig
2. Januar 2018




靈活的教法其實不靈

前文『澳洲小學怎麼教數學:二』http://moriajoel.blogspot.com.au/2017/12/blog-post_31.html討論了,澳洲小學的數學教學法所帶來的困擾,這種看似有趣、好玩、靈活、多元化的教學法,可能適合大多數的孩子,卻不利於自動化有困難的學障生。諼諼是一個手眼協調度低、注意力不容易集中、固著性行為強的孩子。換成學障的術語來說就是:書寫障礙+亞斯。

然而結合唱數、美勞、寫作的教學方式到底是不是數學?網友反應不一,大家的留言給我很大的省思。以一個家長的角度來看,數學的定義為何?不是我所關切的,我所關切的,也不是哪一種教學法比較理想、比較合理、比較符合數學原理?我所關注的問題其實很單純,也很實際,方法是要幫助孩子理解、學習,若是因而醞釀成更大的障礙,學再多、再好的方法也是枉然的。

孩子學習有困難時,一定要回到障礙的原點,不能迷信方法,若方法本身是好的,在設計上能夠嘉惠大多數學子,卻不利於自己的孩子,那這種方法就不適合自己的孩子,方法本身再美好、理念再高、設計再精美,孩子無法學習,也是沒有用的,這時我們就應該馬上放棄,不應該死守著方法,更不能逼著孩子去適應學校的方法。

然而,我自己驗證出來的方法,剛好是最不討喜的紙筆計算法。很多人認為,紙筆計算是機械式反應,光是計算,小孩沒有理解、沒有思考、沒有運用、更沒有透過語言解釋讓思考具體化,這樣的學習,等於有算沒有通,有思考沒有理解,算再多也是沒有用的。在孩子入學之前,對於傳統的紙筆計算,我也抱持著這樣的態度,現在從孩子的障礙點來看問題,我的看法完全改變了,紙筆計算對於學障兒來說,比較容易入手。
話說回來,若是孩子沒有理解的話,又怎麼能夠算得出來呢?會計算一定要會解釋步驟嗎?我們都知道小孩會說話,但是不會解釋語法構成的規則,同樣地,我們可以反問,計算一定要會解釋計算規則嗎?會算還不夠嗎?學校的資優老師一再地跟我強調,資優兒童往往不會解釋步驟,跳過步驟直接寫答案的人不是只有諼諼啊!既然如此,學校為什麼那麼強調步驟呢?

紙筆運算在計算的過程中,孩子比較能夠運用他自己原有的心智來思考,保有一種沒有經過學習、最本初的理解方式。困難反而是在於,嚴格要求按照步驟來計算的這種教法,非但如此,而且還要解釋步驟,非但如此,還要將步驟一一分解寫下,不是我在誇張,連我自己都不太會解釋了,要一個七歲的孩子來做,不是太強求了?然而,澳洲的小學生似乎早就習以為常,因為他們三歲起就開始訓練。

因為我們晚人家三年,又無親無故的,無人可以協助,老師只好一一演練給我看,讓我在家指導孩子,果真是:一個步驟、一個問題、一個步驟、一個解釋、一個步驟、一個回答,並且嚴格遵守步驟,還要一一解釋,一點都不能含糊。我有特別問老師,一定要會解釋步驟嗎?一個環節都不能少嗎?答案是:YES!並且禁止使用手指頭來計算,使用指頭就等於沒有按照步驟。

認真思考起來,比起紙筆計算,這種嚴格要求學生遵守步驟的教法,反而會剝奪了孩子心智自由運作的空間,孩子不能有自己的理解方式嗎?在今天強調尊重個體的社會中,對我來說這種方式簡直是晴天霹靂。實際上,學生為了能夠直接反應老師的問題,最後的結果是什麼?不是隨便回答,就是背起來!這也是另一種沒有思考的教育。這是諼諼自己告訴我的,他覺得老師問那麼多,很煩,於是隨便給個答案,就不用解釋了,就能夠早一點結束了事。天啊!難怪成績這麼差,原來是隨便回答、敷衍了事啊!
前文中,所列舉的各種計算方法,多元性這個概念聽起來很美好,但是在實際操作時,根本不是這樣,老師並沒有讓學生自由發揮,也不能自由選擇,諼諼是死守「一種方法」的孩子,換成別種方法,就不會算了,固著性行為讓他非常吃虧,加上不善於對答,對應起來不是那麼迅速、敏捷,總是遲疑不語,老師以為他根本不會!

此外,學校要求家長在家訓練「背數學」,因為在老師沒時間一個個訓練,每次發回家的家庭作業中,一定有一項口頭演練加減法。這叫我們非母語的家長怎麼辦?有些家長則建議我,找個正規的老師去「補習」,找個大學生來當家教還沒有用哦!因為他們沒見識過這些新式的教法。

都已經到了「背」這個地步了,這時候我才領悟到,一張算式反而能夠讓孩子自由發揮,想用指頭,就用指頭,沒有禁止這回事!這對於沒有上過學的孩子來說,這樣的要求真的是太過嚴苛了。在對答的模式之下,憑我兒子那種固執特質,我想,就算他表面上沒有反抗,但是他心裡還是非常堅持自己的算法。然而老師在評量時,學生必須嚴格的遵循步驟才能夠回答得出來,在這個過程中,孩子必須跟心中的自己抗戰,很現實的是,多元性根本是假的,因為無法具體落實在實際面,所有的算法,孩子必須統統要會,根本無法自由選擇,必須完全按照老師所要求的步驟與方式來作答,自己根本無法思考。

我相信,有很多孩子能夠乖乖地遵循大人的教導,方法再多、再複雜,皆能對答如流,不幸的是,我兒子這種能力很有限,他非常堅持只用一種方法,而且不願意放棄自己的方法,即便是他的方法非常地不好、沒有效率、繞遠路,無論我們大人怎麼教他,他還是固執於自己的方式。

亞斯是如何固執?沒錯!用說的沒有用!拿橡皮擦擦十次,他還是寧可相信自己的答案是對的,將錯誤的答案寫上十次。即便是大腦有理解,但神經傳遞根本不配合,還是不自主地將錯誤的答案再度寫上十次。這時候,就必須經過無數次的練習,才有辦法「矯正」過來。像是練筆順,你會說,字母的筆畫這麼少,筆順有啥好練的?奇怪的是,好不容易才戒掉鏡像文字,但是筆順還是倒反的?手寫的順序和大腦所記憶的順序剛剛相反?怎麼會這樣?是大腦沒有理解嗎?不是!神經根本不願意配合大腦運作!
面對這種狀況,學校老師卻說(我想她是放棄了):「只能讓他這樣子了,這種事情無法強求。」不但學校老師放棄了,孩子的爸爸也放棄了。有一次,爸爸和他擲環狀飛盤(中空的、比較好接住),不管丟多少次,他總是接不到,我家爸爸一氣之下,東西收收、轉身就走了。老師放棄了,爸爸放棄了,我卻還在堅持。

我在堅持什麼?我知道我的孩子不是沒有能力學習,與別的孩子不同的是,他需要歷經很長久的歷程,才願意放棄原來習慣的那一種方式。算數學無法多元,沒關係,孩子!你只需要學會一種伎倆就夠用了,狡兔不需要三窟,一窟就夠用。我說的,一點都不誇張,若不是自己的孩子是這樣,我真的還不敢相信,同一道算式,每次只能使用同一種方法來處理,說他不聰明,智商倒是很高,但完全沒有變通的能力!

乘法即是一個大災難,因為這種固著性行為,無法變通的性格。老師教了累加法,卻導致他連多位數乘法也使用累加法,13x53=?13累加53次嗎?在這一點上,他倒是有點小聰明,他的算法是:13x53=10x53+3x53=10x53+50累加三次+3累加三次=?幸好10x53不用累加。你看!他深深地愛上累加法,於是災難產生了,九九乘法怎麼教都行不通。

為了戒掉累加法,光是x3,我用盡各種方法,目的就是要讓他一見算式,馬上反應出答案,不要再加了!我使用了數數法(三個一數)、做算式、閃字卡、抄寫乘法表、剪貼乘法表、聽CD唱歌,只差沒跳舞,我家兒子還是無法記憶這麼簡單的x3,最後我以銅板排列,三個三個列成九列,使用這種方法反覆操作了幾次,最後,x3總算在大腦中黏上了。我沒有像老師一樣,任由他去;也沒有像爸爸一樣,轉身就一走了之。而是棄而不捨地,想盡辦法讓他牢牢地記住x3,這幾天,不知怎麼了,他突然願意轉向了。不知道是銅板效應,還是不斷練習的結果,最後不、得、不、會。

我也明白,為什麼學校在教乘法時,先教兩個一數、三個一數、五個一數;然後再教累加法、行列式等等,因為這是乘法的正宗概念啊!這很合理,抱怨學校沒有用。然而學校只教概念和累加法,剩下的卻要我們家長自己看著辦,九九乘法只在家背,學校不負責處理,這下子可慘了!讓我束手無策,就是因為老師教的觀念實在是太正確了,導致我家兒子鍾情於累加法,死守著累加的原理,要他背起來,完全沒辦法,因為觀念不是這樣解釋的。要知道,乘法的符號英文正是讀成times,次!我兒子的直接反應當然是累加啊!想當初,我們學乘法時,不管懂不懂,先背了再說。可能是先聖先賢早就知道世上會有我兒子這種小孩,凡事先要會了,再來探討懂不懂的問題,這樣學習起來比較沒有障礙!
我不是學數學出身的,老實說,我無法判斷澳洲這種教學法是不是比較與符合數學原本的性質?比較重視思考理解?

然而,我家爸爸的看法跟我們學校的特教老師一樣,認為這種教法不是數學。他的工作是研究物理學,每天使用的正是數學,他認為孩子將來數學要好,一定要抽象推理、一定要回到數字本身,不是做勞作剪貼、寫寫作文、唱唱數數、在iPad上畫個圖,就可以了,他不是很認同澳洲這種強調實物應用、作文解說的方式。

計算機不是算得更好嗎?讓孩子用計算機不就結了?為什麼還要讓他們學會計算?然而每天從事計算的爸爸,深知電腦無法取代人腦之處在哪裡?電腦無法做邏輯推理!再厲害的程式都無法完全取代人腦來推演,他終日寫程式讓電腦計算,最後,還是要自己拿起紙筆來推啊!方法再好再新再多元,最後還是要回歸紙筆計算,尤其在今天這個電腦取代人腦的時代裡,什麼是機器無法完成的?人的推理能力啊!

回歸到問題本身,就算是澳洲的教法構想上比較好、比較實用、比較符合數學原本的理念,很實際的是,若我的孩子卻無法學習,我寧可捨棄比較好的方法,選擇適合孩子的方法。一個固執的孩子在算算數的時候,一定要以簡單、固定的方式來進行,太多方法、要求同時處理太多事情,會讓他陷入混亂的狀態,根本無法思考,更別說進行精確的演算。

從諼諼身上,我深刻地體會到,引導一個孩子達到目的地的那種辛苦過程。雖說「條條大路通羅馬」,但是對他這類型的小孩,還是先讓他摸透一條路,才不會迷路,我們不貪心,方法不需要多,孩子!你只要學會一個伎倆就夠用了!



延伸閱讀:


語言與建構式數學
http://moriajoel.blogspot.com.au/2018/01/blog-post_20.html
專注力缺陷
http://moriajoel.blogspot.com.au/2018/01/blog-post_25.html
澳洲小學怎麼教算數:二
http://moriajoel.blogspot.com.au/2017/12/blog-post_31.html
澳洲小學怎麼教算數?
http://moriajoel.blogspot.com.au/2017/09/blog-post_30.html
系統轉換困難:數字
http://moriajoel.blogspot.com.au/2017/12/blog-post_24.html
系統轉換困難:語言文字
http://moriajoel.blogspot.com.au/2017/12/blog-post_21.html
識字一定要直接
http://moriajoel.blogspot.com.au/2017/12/blog-post_11.html
善用閃字卡
http://moriajoel.blogspot.com.au/2017/12/blog-post.html
中文識字必須量身定做
http://moriajoel.blogspot.com.au/2017/11/blog-post_14.html 
字盲
http://moriajoel.blogspot.com.au/2016/08/blog-post_47.html
從中文識字來看數數障礙
http://moriajoel.blogspot.com.au/2017/11/blog-post_8.html
跳躍型學習者
http://moriajoel.blogspot.com.au/2017/10/blog-post_30.html