薇亦柔止: 建構式數學

Moria Flaig
18. Januar 2018

建構式數學

我最近在部落格上貼文『靈活的教法其實不靈』http://moriajoel.blogspot.com.au/2018/01/blog-post.html抱怨澳式數學，主要的問題是，多樣化的算法反而不利於自動化，對於學障兒來說，這樣的教學法不是助力而是阻力。我的直覺告訴我，這種新數學不一定是澳洲產品，不是來自美國就是來自英國，英語系國家在教育體制上互通一氣，從美國到澳洲的歷程，我有深刻的感受，澳洲在制度面往往與英國亦步亦趨，從英國搬來的媽媽也說，在英國低小算數也是這樣教，按這個線索我在網上多次查詢英國的數學教育，毫無斬獲，因為不知道關鍵字，還真的無法查起。

後來卻得到台灣的老師指點迷津，說是教改數學，我鍵入「教改數學」之後，螢幕直接跳出的是建構式數學，這種數學不是什麼澳洲產品，而是來自美國，也稱為新數學。然而「建構」兩個字引起我的注意，何謂建構式？在台灣提倡建構式數學的史英解釋說，這種數學教育本源自於皮亞傑發展心理學，於是我的腦中快速閃過，自己十五年前在德國畢業口試中還真的有這麼一道建構主義，建構式數學與我學的溝通理論中的建構主義有什麼關係？欸！人腦是一個封閉系統，互為主體性的溝通終究是個不可能實現的烏托邦。我在腦中閃過幾個簡短的概念之後，塵封往事，懶得去掀起一陣灰。言歸正傳，說來自己還曾經是個建構主義的信徒，諷刺的是，十五年後自己的孩子卻被建構式數學打敗，現在卻作文反對起建構式數學，說來還真是矛盾。

讀了史英的文章和相關研究之後，我必須說，他們所說的建構主義與我所認識的建構主義有很大的出入。從溝通系統的封閉性這個思路來看，人腦是個封閉性體系，透過教導、灌輸都無法讓兒童學習，只有讓兒童自己建構起自己的知識體系，學習才有可能。然而，在此我不是要討論，在台灣推動建構式數學的人士所倡導的「建構式」是不是符合建構主義原本的精神，更不是要以此來評論，建構式數學是不是因為台灣的考試文化而導致僵化的結局。而是要探討，建構式數學即使不是在台灣，在澳洲也一樣會有弊端出現，問題在於方法本身，而非外在文化因素。

根據史英的解釋：「什麼是建構式數學？簡單的說，人類對於事物的了解不是從外界灌輸得來，而是他自己摸索體會所得。摸索體會，如果用比較專有名詞來講就是「建構」—─建立起結構的意思。這個理論最開始是皮亞傑研究認知發展所提出來的。一個孩子要學會一樣事情，認識一個事情基本上要有一個結構。這個結構是重要的，因為知識不是零碎的片段，東一點西一點，必須有完整的結構才算對整件事情有通盤的了解，才能夠加以應用。這個結構，不可能透過別人灌輸給他，必須自己像蓋房子疊積木一樣，一點一滴地建立起來。」資料來源：http://www.dyjh.tc.edu.tw/~t02007/10.htm

其實史英所強調的：「人要從內在開始建構他的知識才行。」和自學界所強調的自主性、適性、個體性、非體制教育其實是一致的，每個兒童的個性、專長、理解方式皆不同，因此學習必須要經由兒童自己探索、發現、思考來達成，而非我們成人以外力強加施予就能夠習得知識。我想其中的差異只是，他們強調建構，自學強調自主性學習與給予探索機會。

然而這個耐人尋味的「建構」兩個字，搬到數學教育就出現了建構式數學。最原本的精神是要讓孩子們透過自行討論，建構出一套自己的計算方式，擺脫傳統的標準計算法、死記乘法表、代數公式的學習方式，鼓勵孩子去發掘自己的計算方式，重視學習過程，不重視結果。這種重視過程，不只是看答案的教育，出發點是很好沒錯，為什麼會失敗呢？學者們說是，因為台灣教育界長久以來僵化的風氣所致，無法讓建構式數學發揮原本的多元化的面貌。乘法以累加法計算，本來是讓兒童自行思索出自己的計算方式，讓數學思考更多樣化，不應該依照九九乘法表機械式背出，而沒有經過思考。然而考試文化的結果，最後建構式數學在台灣卻流於，非用累加法不行，有背九九乘法表的兒童，使用乘法表計算，老師一律算錯，教學走向僵化一路，教改因而失敗。

此外，台灣在實行六年的建構式數學之後，第一屆建構數學兒童進入國中後，因為計算能力差，學了六年數學還不會乘法表，段考成績低落，引起家長的恐慌，民眾向教育部門施壓，教育部不得不剎車喊停。然而讓建構式數學失敗的真的是「標準答案」文化導致的嗎？

澳洲所施行的正是這種新數學，21+16=？不能直接回答37，必須拆解成：21=20+1，16=10+6，1+6=7，20+10=30，7+30=37。步驟繁瑣的計算方式，剛好不是諼諼這種學障兒所擅長的。對此我必須說，建構式數學的失敗不是「背書文化」造成，依我來看，就算在澳洲沒有教科書文化、沒有「標準答案」的包袱，建構式數學走向僵化是必然的，甚至更甚於「背書文化」，為什麼呢？因為建構式數學算法過於瑣碎、步驟繁多，尤其對於年紀小的小孩（澳洲普遍四歲入小學），他們的記憶力與理解力還不到能夠駕馭多步驟的階段，連最簡單的加法都要使用這麼多步驟，孩子腦子轉不過來時，最後的結局就是：背！而且學校真的要求家長在家貫徹執行。

當初的提倡建構式數學的初衷不是在於，是要讓孩子自己建構出最本初、最自然的計算方式，老師只是引導而已嗎？然而什麼是孩子最本初、最自然的建構式學習？那就是扳指頭計算加減，算久了大腦就會自動化，內建起心算能力。然而教學現場搬到澳洲，會是如何呢？沒有比較好，一樣走向僵化的命運。澳洲沒有教科書文化、有沒有「標準答案文化」我是不知道啦？但是建構式數學說是要幫助小朋友從一開始就內建心算能力，不但以更複雜的分解法來取代步驟簡單的進位借位法，為了要讓小朋友戒掉使用手指頭的習慣，現在連加法都要背起來耶！我們家長都被要求在家操練二十以內的加減法，後來還擴大到二十五。我就很納悶，既然要他們背，那為什麼還要他們學各種計算策略呢？既然要求他們只能心算，不能用手指頭，為什麼不採用步驟最少的方法，步驟繁複一定是不利於心算啊！尤其是跳躍式計算策略，9＋8＝？要在腦海中跳八下，才能算出17，而且不只是要跳，還要跟著數，心智很難操作耶！

乘法更是個大災難，過去式數學是背九九乘法表，建構式數學說是不必背了，累加就行了，矛盾的是加減法本來不必背的，現在反而要背？乘法表本來應該背的，現在卻不必背了，這是什麼道理？累加法不但導致計算緩慢，以前只需要兩三個步驟就能夠完成的計算，現在要寫出十個步驟才能完成。這對於學障兒更是一大災難，諼諼原本寫字就很吃力了，要他寫十幾個步驟，簡直要命，算個簡單的乘法老是頻頻塗改，出錯機律大幅度提高，在這麼長的計算過程中需要高度地集中精神，對於專注力和記憶力都是一項考驗。

學校也知道不背九九乘法的後果是什麼？於是從最「自然」的數數著手來改善，但這卻加深「背數學」的悲慘命運。聽說他們在Preschool就開始背，整個低年級階段更是要求學童不斷重複唱數兩個一數、三個一數、五個一數、十個一數，而且統統要數到一百，而且統統要會「背」倒數，我們沒有上過Preschool的，收到百數表在家讓孩子背。不但如此，到了中年級他們還要會唱數四個一數、六個一數、七個一數，八個一數、九個一數，難道這與背九九乘法表會有不同嗎？最終還是脫離不了「背」的命運。我們都知道大部份兒童都能夠自行發展出兩個一數、五個一數、十個一數的能力，根本不需要背，但是學校在低年級時額外引入了三個一數，諼諼現在二升三了，三個一數背了一年，還是不會背，老實說，我自己也不會背，更不會倒數，為什麼孩子要會背呢？乘法表本來背到3x9＝27就行了，搞到最後，三個一數卻要背到一百，乘法最終還是脫離不了背啊！而且比起過去式，建構式背得還要更多，建構式數學不是說要反對「死背文化」嗎？

沒背過的家長還真的是吃虧倒霉，因為學校不負責訓練背，要求家長自行在家練習，在學校老師會一個個地問。背還不打緊，而且還要學各種瑣碎的算法。以前我們只要學進位借位法一種方法就行了，現在算法不但繁多繁瑣、而且老師要求每個步驟都要解釋，美其名是說訓練孩子討論、思考、表達、多元解題的技巧，其實更慘，孩子為了避免那些麻煩的解釋，老師嘮叨的詢問步驟，二話不說先隨口說出答案再「想」，這不是逼著孩子不先思考，先把答案「背」出來嗎？這種教法還能夠讓孩子思考嗎？

再者，何謂多元？學習多種算法就一定等同於多元式思考嗎？老師在實際教學時，能夠多種算法同時教嗎？哪有可能，一定是教了一種算法，在評量、確認所有的學生都會算之後，再教另外一種。評量時嚴格要求解釋步驟，查看學生有沒有按照老師教的算法算，不然幹嘛還教呢？最後的結果是學生學了很多方法是沒有錯，表面上看起來很多元，但在實際評量時，只允許一種算法，因為老師引導的方式是一個步驟、一個解釋，最慘的是，在這麼多算法中，孩子卻不能自由地只選擇一種算法來回答問題，我有特別問過老師，是不是所有的算法都要學？是不是每一個步驟都要會解釋，答案是：YES。這樣教有沒有達到多元思考的結果？有沒有允許孩子自己思考呢？根本沒有！孩子只會感到他自己的算法不被老師接受，而且最大的困惑是：為什麼同樣的問題，不久之前老師要求那樣算，現在突然又改了呢？為什麼我的算法老是被改正？到底要怎樣算才是正確的？

為什麼要用「口」算？不用筆算直接寫出答案就行了呢？以建構式數學的精神來說，為了要去一元化，強調多元化算法的結果，只能用「口」算了，因為筆算不但看不出計算過程，也無法解釋計算步驟，老師控制不到啊！筆算容易讓小孩子只願意使用一種方法，為了貫徹多元化，唯一的方法就是口頭評量，老師一個步驟一個步驟地問，檢查學童是怎麼算的，這時才看得到計算過程，孩子才能夠學會解釋，這樣才符合建構式重視解釋、言說表達、互動溝通的精神。美其名是讓孩子以自由討論的方式自行建構出自己的算法，然而凡事以口頭評量的結果，真的能夠讓孩子自由思索計算方式嗎？根本不是那一回事，正如上述，老師進行口頭評量時，學童能不能堅持使用自己的方法？不能！學童能不能拒絕解釋算法，也不能！堅持自己的算法，老師就認為沒聽懂、沒學會嘛！收到的成績單當然是超難看。

一張算式，讓孩子自己盡情發揮不是更好嗎？第一、不用嘮嘮叨叨地解釋步驟，第二、孩子完全可以按照自己的想法去計算，愛怎麼算就怎麼算，甚至用手指頭都沒關係，反正老師看不到，為什麼多元化不能以自由的方式產生呢？為什麼要強制執行呢？

如果台灣教改的敗筆在於考試文化的單一性，那澳洲的失敗難道是在於多元文化的強制性嗎？正是如此！建構式數學在實施時必然會走向這種僵局，多元化只會加深孩子學習的負擔，過去只需要學一種，現在要學習很多種，學校並沒有讓孩子自由選擇一種，我的孩子有學障，而且不懂得變通，為什麼學校要加重他的負擔呢？溝通互動更是誤會一場，一個六、七歲的學童，還沒有能力做歸納、綜合、分析性、多種可能性的思考，美其名是以溝通互動來從事多元思考，最後結果是，多元化路徑都是必須經過老師強加灌輸才有可能達成，因為學童不可能自己討論出多元的路徑啊！建構式數學不是說，老師只是引導而已，哪有可能？一群、七六歲的小孩自制力沒好到靠著引導就能夠學習啦！

的確，澳洲學校沒有考試、沒有處罰，孩子無法具體地感受「強制性」在哪裡？唯一感受到的是不被接受、不被理解的痛苦。諼諼是一個極度一元性的孩子，不會變通、不喜歡改變。如果一個喜歡單一、只吃燕麥片的孩子而不被多元化體制所接受，這個體制卻大談多元化思維，這不是一種謊言嗎？

延伸閱讀：

語言與建構式數學
http://moriajoel.blogspot.com.au/2018/02/blog-post_9.html

http://moriajoel.blogspot.com.au/2017/11/blog-post_8.html
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