Moria Flaig
29. September 2017
澳洲小學怎麼教算數？
諼諼在澳洲入學之後，除了被發現有輕微的書寫障礙之外，還被發現在數字認知上也有障礙，詳情請見上一貼文『超低的數學成績』。
這時，媽媽不得不打起精神，把澳洲小學數學的教綱全部下載下來，仔細研究一番，澳洲小學老師到底怎麼教加減法的？孩子怎麼不會算呢？研究一陣子之後，不知道是媽媽老了，跟不上時代了？還是他們的教法非常地「與眾不同」？
首先，我們小時候所學的進位、借位根本不管用。人家的教法與我過去所認知的完全不同，特點是，重數數，沒想到諼諼吃虧就吃虧在不會數。校長在一次家長座談會中也指出了數數的重要，要求家長在家要求孩子演練數數。幾乎整個Preschool（學前預備班，不屬義務教育範圍，但是時間規劃上完全與小學一致）、Kindergarten、一年級、二年級都是在教數數。
然而，諼諼最差的能力就是數數。老師卻認為這是最基本的技巧，諼諼已經七歲了，卻都還不會數，老師非常地驚訝。尤其是，最簡單的數實物，他老是跳過一、兩個，好像眼睛看不見似的，所得的結果當然是錯誤的。
不要小看數數，其中的學問可大了！澳洲小學所教的數數不是只有數1、2、3、4⋯⋯ 數到一百而已，花招之多、令人瞠目結舌。不是只有一般我們熟知的數實物、偶數數、基數數、兩個一數、三個一數、五個一數、十個一數。不只是往前數數到一百而已，還要能夠倒著數、往上數、往下數（注釋）；並在這個基礎之上，要求學童要能夠從任一個數字開始，兩個一數、三個一數、五個一數、十個一數、不但往前數（加法原則）、倒數（減法原則），也要往上數和往下數（注釋）。此外，還有辨認數字模式（23、33、43、53⋯⋯）、目測估算種種新玩意。這些都是在小二的課程範圍之內。
注釋：往上數、往下數，所指的是，他們使用1－100的數字表格。每一行列皆為10，往上數即是－10，往下數即是＋10。跳過一格往前數即是＋2，跳過一格倒數即是－2。
等到三、四年級學乘法時，數數範圍更廣大到：四個一數、六個一數、七個一數、八個一數、九個一數。老實說，這些連我自己也不會數，當初我只背九九乘法表，但要我七個一數、八個一數，我還真不會數呢！探究原因，我猜想是因為英文的九九乘法表背起來太過冗長，因此，學校通常以簡約的方法來幫助學生學習乘法，兩數相乘不必背，只背答案就行了。也就是學習x7時，只需要記憶：7、14、21、28、35、42、49、56、63、70就行了。在德國也是以同樣的方式教導小孩學乘法，我家爸爸就沒有背過九九乘法表。
可見他們特別重視數數，這裏的小孩從Preschool開始到小二，甚至到小三、小四，所學的數學最主要就是數數了。然而三語寶寶的媽媽我卻不重視數數，那是因為，我們有三語耶！當初的想法是怕孩子用中文數多了，孩子將來在學校要將數字轉換成英文會有障礙。因此，我教的是很台式的數字紙筆運算法，完全沒有教孩子數數。
此外，澳洲小學數學在課程設計上，與我們小時候所認識的完全不同，我們是先學完一位數加減法，然後多位數加減法，再進入乘法、再來是除法，學完乘除再學習分數與小數。在澳洲，乘除法和分數一開始就先引進，但也只有先了解概念而已，並沒有具體的演算，小一小二階段的進度也只有數數而已，但也只有兩個一數、三個一數、五個一數、與十個一數，也沒有要求背九九乘法表，更沒有算式練習。因此，乘除到底要不要正式開張，一直懸在半空中，讓人不安啊！諼諼本來就不喜歡數數，而老師卻老是重複他最討厭的三個一數，令人心煩。
此外，過去我們小學所學的加減法，幾乎「只」重視進位、借位法，進位、借位法適合於紙筆計算，不適合於沒有課本的教學方式，更不適合口頭練習。在澳洲，進位借位法要到四年級以後的四位數加減法才會教，可見他們只把進位、借位法用在大數的計算。而低年級的一位數、兩位數加減法，卻多了好多種我從來沒有聽過的心算技巧（mental strategy），其中以跳躍式（jumping strategy）最需要數數技巧，在此，我簡單地介紹一下這些心算技巧：
1）跳躍式（jumping strategy）：8＋6＝？即是8往前跳6步。45＋34＝？以十個一數將45往前跳三步：55、65、75，然後再往前跳四步：76、77、78、79。答案79。第二個方法是，4跳3步、5跳4步。答案79。但是這個方法不利於進位的情況。對於不擅長數數的諼諼來說，一下子要跳這麼多步，還要跳兩次，實在是很困難。
2）分解法（split strategy）：46＋33＝？先把46分解成40＋6；33分解成30＋3，所以：40＋30＋6＋3＝79。分解法後來卻成為諼諼最擅長的方法，並且將之廣泛地運用在乘除法與分數運算之中，尤其是多位數的乘法，正是台灣所使用的直式多段式乘法：47x6＝（40＋7）x6＝240＋42＝282，此法即是分解法，只不過他們將之用在加減法之中。本來我覺得這個方法步驟較多，拆解的過程容易混淆出錯，直接用進位法不是更快嗎？但諼諼卻因禍得福，分解法讓孩子學會如何靈活地運用已知的數字去運算未知的數字，雖然沒背過九九乘法表，若是能夠善於靈活運用已知的數字來運算，拆解步驟雖多，其實在計算上，對小孩子來說卻是最容易的，例如：99x6＝100x6－6＝594，若是不知道x9，也能夠利用分解法來計算。
3）補數法（inverse strategy）：65－37＝？這個方法的基本概念是，看看37補上要多少差數，才能夠達到65？37加上3等於40，40再加上20等於60，60再加上5等於65，最後3＋20＋5＝28，答案是28。
概括來說，與我們所熟知的進位、借位法不同的地方是，他們重視讓小孩學會觀察與分析數字，主要以整數原則，讓加減法更容易進行，以前面的例子來說：46＋33＝？先把46分解成40＋6；33分解成30＋3 都是利用整數運算容易的便利之處，但拆解的過程也比較繁瑣，算是一種頭腦體操。
整體而言，澳洲小學低年級的數學建立在數數的基礎之上，與我當初為諼諼的入學所準備的教法完全不同，去年我只教加法進位法、減法借位法，諼諼數數能力不好，但是視覺記憶特佳，因此我以他的視覺特長，著重於紙筆的數字運算，完全沒有數數的口頭練習。然而進位、借位本來就有利於紙筆演算，在澳洲低年級的數學較少紙筆演算，課堂上首重口頭演練，再加上數數的技巧入學前缺乏練習，最後的結果卻是，被老師認為有數字認知障礙，被送去資優老師那裡去做智力測驗。
這個學校適應不良症，說來說去全根源於，最簡單的數數耶！誰不會數？令人匪夷所思，但卻是實情。
延伸閱讀
從中文識字來看學障成因
http://moriajoel.blogspot.com.au/2017/11/blog-post_21.html
低小視覺型數學
http://moriajoel.blogspot.com.au/2017/11/blog-post.html
循序缺陷
http://moriajoel.blogspot.com.au/2017/10/blog-post_25.html
超低的數學成績
http://moriajoel.blogspot.com.au/2017/09/blog-post.html
簡易乘法表
http://moriajoel.blogspot.com.au/2017/10/blog-post.html
Moria Flaig
25. September 2017
超低的數學成績
部落格被我冷落了很長一段時間，大半的原因是，孩子出了幾次狀況，媽媽應接不暇，為了找出孩子大腦打結的癥結所在，採取因應對策，我用功了好長一段時間，不僅是沒空寫，再者，在了解狀況之前，也不想輕易說什麼，先了解狀況，觀察一陣子再說。最近，情勢有所轉變，撥雲見日，看樣子大腦的結似乎打開了，於是趁著這個假期，速記最近所發生的一切。
事出於，今年年中，我接到了孩子生平的第一張成績單，看到時差一點沒休克。如果孩子每科都得高分，媽媽大概會認為是，那是理所當然的。首先，這樣的心態根本就是不對的，小孩子百百種，自己小時候所經歷的，不一定與孩子在學校所的經歷的相同，不應該事先假設：小一小二的課程本是容易消化吸收，不需要學習，人人皆能夠輕鬆得滿分。然而，一張國小低年級超低分的成績單所代表的意涵，不只是孩子上課不專心、沒有用心、理解力差，可能也意味著某種程度的學習障礙。
回想童年，小學考一百分、九十幾分本來就很平常的事情，不是我特別厲害，跟我一樣厲害的同學也不少，低年級的課光「聽」就行了，根本談不上「用功」兩個字，不需要用心努力也能夠考一百分，更何況諼諼有良好的閱讀能力加持，在此前提之下，成績不亮眼，只要稍微再用心就行了，應該不會有多大的問題。
然而，我做夢也沒想到，諼諼卻輸給最簡單的加減法。
看到成績單時，真的是差一點沒休克，緊接著和老師面談，別家面談是十五分鐘，我家的面談卻是一、兩個小時。面談時我問老師，這個分數的意涵是什麼（我們學校的成績單沒有數字）？老師回答說，他完全不懂數學。
全世界最簡單的加減法，居然完全不懂！第二次，心臟差一點沒停止。
從數數、偶數數、基數數、三個一數、五個一數、任一個數字開始數、往前數、往後數、任一數字開始三個一數、五個一數、十個一數、往前數、往後數、辨認模式能力（pattern）、目測估算、數實物等等。老師一一地指出，這些都是澳洲小學入學篩選學生時，主要的測試內容，也就是說，這裏的小孩在Preschool（三歲到四歲的學前預備班）所學的數學就是這些了，數數是最基本的技巧，然而，諼諼已經七歲了，卻都不會，老師非常地驚訝。尤其是，最簡單的數實物，他老是跳過一、兩個，好像眼睛看不見似的，所得的結果當然是錯誤的。
Preschool啊！諼諼的確沒有上過Preschool，只有在美國上過一學期的Pre－Kindergarten，但是他們每天只有上一節課而已，能學到什麼？不像澳洲Preschool的上課時間完全跟小學一樣一整天。美國的PK，上課內容只有描字母、畫畫而已，數字也只有寫到20，的確沒有額外教兩個一數、五個一數、十個一數。既然老師都說，孩子的程度連Preschool都趕不上了，我只好直接問：「這樣怎麼辦呢？明年怎麼上三年級？是不是要重讀二年級？」
老師馬上把教具搬出來，讓我帶回家教孩子數數，建議我在假期中先在家教教看，看他學習的狀況，真的不行的話，只好重讀二年級！此時此刻，我必須做最壞的打算，如果這個假期中，孩子在認知上還是有困難的話，不是下學期降級讀一年級，就是明年重讀二年級。
接下來學校放兩個星期的假，假期中，我按照老師的指示在家輔導孩子學習數學，老師給了很多教具，都是用來幫助孩子學數數的。一個星期下來，我不見有什麼進展，問題在哪裡？關鍵是什麼？難道孩子的數學要永遠卡在數數這一關上嗎？
我不信邪，於是回頭看看孩子去年入學前所學的進位、借位法，難道全部都忘光光了嗎？於是我先把教具擱置一旁，先下載澳洲的教綱，根據教綱，自己出一些算式讓孩子計算，二上的進度是二十以內的加減法，我發現到，諼諼雖然數數數得不是很好，但是加減法的運算還可以啊！不像老師說的：「完全不會！」可能是因為老師完全以口頭測試，造成孩子心理畏懼，讓老師誤以為他都不會。於是我捨棄老師給的教具，不再逼他數數了，上網找尋台灣的試題，於是找上了子由數學學堂。
子由的特點是題型豐富，而且是串型算式，不是只有兩個數字相加相減而已，而是好幾個數字一起累加、或是加減混合運算，適合複雜的心算。諼諼算了一兩個星期之後，媽媽有了驚人的發現，事實上諼諼的心算非常地厲害，心算厲害，數學成績怎麼會這麼差呢？問題到底出在哪裡？
很快地一位數加減法變成太簡單，馬上就進入二位數加減法，正好是他們二下的進度，很快地兩位數也變得很簡單，我接著讓他算三位數、四位數加減法運算，在教綱中，這是三、四年級才有的課程，連我都感到十分困難的時候，諼諼居然面不改色全部用心算，他到底是這麼算的？難道是老師不喜歡他的算法？
事情實在是太離奇了，我必須和老師再談一次，於是我把一個月以來諼諼在家算的數學本子拿給老師看，並說明了，孩子的計算能力基本上並沒有問題啊！怎麼說是他完全不會呢？老師一看本子全部都是超出二年級的算式，只好答應我再重新測量一次。測量完畢之後，老師說：「哇！不知怎麼地，他突然之間全部都會了，在短短時間之內把三年的數學全部學完了！」
老師這麼一說，更是離奇了，一開始說是，孩子的程度還達不到入學標準，一下子又說全都會了。這時老師才提到，之前，因為他在數學上顯現出嚴重的學習障礙，所以她把他送去資優老師那裡做智商測試了，結果顯示，諼諼應該是資優兒童，只是不知為什麼在某些事情上認知卻有障礙，測試中有些很普通的題目卻答錯，我應該找資優老師談一談。
一聽老師這麼說，為娘的心裏有數，他一定是把極為普通平凡的事情，當成極為特殊的事情來分析研究了。不喜歡數數、不喜歡寫字母、不喜歡讀內容簡單的讀本，最簡單的事情對他而言卻是最困難的事情。但一旦關卡打通，馬上就能三級跳，不需要一步一步來，這是諼諼一貫作風。
一下子打通任都二脈，從完全不會，到突然間大悟，跟以前學習德文閱讀的狀況一模一樣，從不會讀到一夜之間讀完一本兩百多頁的故事書，是一個典型的頓悟型學習者，在過去，我實在經歷太多次了，每次都是讓為娘的擔心受怕，一開始以為是得了什麼學障、不然就以為發展遲緩，其實是，孩子還沒有下定決心。
回想起孩子在十個月大時，踏出人生的第一步，我永遠忘不了他看著媽媽的神情，那是一種下定決心的神情。諼諼很早就起身站立學走路，但是也走得特別久，練了三個月，我知道，他是一個不喜歡踏出第一步的孩子，一旦踏出第一步，就是穩穩的一步。
原來，不是什麼學障，也不是發展遲緩，而是孩子還沒有下決心。
為了確認孩子的數學認知能力沒有問題，我放開了加減法練習，直接進入老師還沒有教的乘除和分數的運算。我就是要看看，不會數數、不會背九九乘法、老師也還沒有教，他會算還是不會？
非常地意外發現到，雖然不會背乘法表，光是靠著基本的兩個一數、三個一數、五個一數和十個一數這四個小把戲，他照樣可以算分數和乘除，他是怎麼算的呢？說穿了，沒什麼神秘之處，所運用的正是數字分解法與模式推論法。
除法由乘法推論，分數由除法推論。x4是x2的兩倍，x8是x4的兩倍，x6是x3的兩倍，x9則是x10減掉乘數，最後只剩下x7比較困難。但也不見得，x7本來在x2、x3、x4統統都有了，也不一定要背，說來說去，最後剩下7x7＝49得額外背起來了，如此罷了！
此外，諼諼在學x4時，自己還發現了，在乘法中，x2、x4、x6、x8，個位都是2、4、6、8、0不斷地循環出現。既然知道規律性，那事情更好辦了！
於是，在沒有九九乘法表之下，我大膽地讓諼諼做乘除和分數的運算，結果太驚人了，兩位數、三位數的乘除法和分數的運算，他都能算，根據澳洲的教綱，這些都是五、六年級才會教的（在澳洲小學階段，除法只學到除數一位數）。這樣一來，孩子應該不是患有數學學習障礙，這時，我才大鬆一口氣。諼諼談不上數學天才，但是數學能力其實還不算太差。從老師說的，不到入學程度，一跳跳到六年級，才短短兩三個月中，我們歷經到非常戲劇化的變化，讓我實在不知道該說些什麼？
仔細分析原因，的確諼諼的確有輕微的書寫障礙，進而影響到數數，明顯地出現了dyscalculia的症狀：數數障礙與記憶乘法表困難。到目前為止，他並沒有完全克服數數障礙、記憶乘法表也顯得特別困難。然而二下以後，所遇到的加減法都是大數的運算，數數的技巧越來越不重要了，但是到了三、四年級學乘除法時，會再次遇到使用指頭來運算乘法，比如說：4x7，也就是四個一數，指頭扳到七。
可見數數的技巧不只嚴重地影響到加減法的運算，連帶影響到乘除。再加上澳洲小學沒有使用教科書，沒有考試，不重視紙筆計算，老師完全以口頭問答，要求學生直接反應，老師以學生回答的狀況來評分。在這種教學方式之下，數數能力相當地重要。這些都是我事後去參與上課，在現場參與才能夠瞭解的。
整體而言，澳洲小學低年級的數學建立在數數的基礎之上，與我當初為他入學所準備的教法完全不同，去年我只教加法進位法、減法借位法，諼諼數數能力不好，但是視覺記憶特佳，因此我以他的特長，著重於數字的紙筆運算，全部以數字演算為基準，完全沒有教數數，然而進位、借位本來就只對於紙筆演練有利，在澳洲沒有紙筆演練，只有口頭演練，又特別重視數數，諼諼一來不習慣老師的教法，二來，不會數數，三來，語言上中英文轉換也還不靈活，一個學期下來，在學校形同鴨子聽雷。
以前以為三語會造成數學認知上的障礙與運算上的困難，這個因素一開始的確造成某種程度上的影響，後來發現，當數字越大時，計算越來越複雜時，尤其是完全進入數字的運算時，語言所造成的阻礙越來越低，分解數字的能力、邏輯推理能力、易位轉換能力（代數）、類比能力（analogy）變得越來越重要，語言因素所佔的比重就會越來越低。
因此，跳開數數的困難不說，若是施以適度的指導，其實諼諼的數學可以學得很好，只是以前我一直沒有留意到而已。此時，我才真正地體認到，天賦是潛能，若是沒有相應的環境、養料與刺激，孩子的天賦就不會顯現出來。
在此我必須承認，過去我對於孩子的數學教育過於疏忽，總以自家爸爸為例，他從小沒有經過任何的刻意栽培，只是偶然被數學老師發掘，送去參加數學比賽，一鳴驚人，晉級到最後一級，贏得獎學金，日後以研究數理為業。這個經驗讓我誤認為，孩子若是有數學天賦，是天才就是天才，不需要經過任何琢磨、也不需要刻意引導，自然而然會大放異彩。
因此，孩子出世以來，我一直以這樣的方式教育諼諼，若是天才的話，將來自己能夠綻放光芒，何必媽媽辛苦耕耘。然而，事實並非如此，就算是有這樣的資質與潛能，沒有相應的環境與養分，再美的花朵終究會枯萎而死，由於我的異想天開，讓孩子陷入一個非常危險的處境。
這個教訓讓我現在不只是亡羊補牢而已，還要勇敢向前行，短短時日之中我經歷到：國小數學要快快跑完一圈，真的不難，數學界的莫扎特Terry Tao在進入小學之前就把國小數學全部學完，我現在終於相信那是有可能的。同時，我也深刻地體會到，為什麼那麼多家長追求數理資優了。因為，那是一條立竿見影的路，一階階地往上爬，資質好一點的孩子，可以爬得非常地快，既迅捷、目標又明確。
在此，我要提到Miraca Gross在「Radical Acceleration in Australia: Terence Tao」一文中記錄了Terry Tao的父親曾經對於快速直達的數學教育，發表了一個觀點，在這裡提供給資優生父母做參考。Terence Tao也是大家所熟知的Terry Tao，中文名字為陶哲軒，年僅24歲就成為UCLA數學系的教授。澳洲的資優政策受到Gross很大的影響，NSW的資優教育章程就是她編寫的，Tao正是她的研究對象之一。
Tao的智商是一百萬分之一，是非常罕見的資優者。然而在閱讀這篇文章時，我讀到一段他的父母在他十歲時，為了他的教育到美國四處尋訪學校，為的是尋找一所適合孩子的大學，參訪之後，他們毅然地放棄原先的計劃，認為十歲並非進入大學的年紀，這時他的父親說了一段話，我覺得很有道理：
過去他們一直走的是柱狀教育模式，也就是在數理領域垂直式地往高處爬，對於其他領域的接觸與涉獵比較有限。這種模式的教育問題在於，柱子越高，要繼續往上蓋就會越困難，同時這根柱子也就會搖晃得越厲害。另一種教育模式是金字塔模式，也就是將數學與其他科學領域結合在一起，剛開始的時候，孩子可能會走得很慢，等到這些學科之間連接穩固之後，金字塔也就能越蓋越高了。原文如下：http://www.davidsongifted.org/Search-Database/entry/A10116
I can see two different models of how his education could progress. The first is what I might call a "columnar" model, where his acceleration would be directed vertically upwards in maths and physics with little expansion into other areas of knowledge. The problem here is that, although progress may be fast and easy at the beginning, as the column gets taller it becomes more difficult to build on further knowledge, and, to continue the metaphor, the taller the structure grows, the shakier it may become. The other model, which we have selected, is pyramidical in shape, where Terry's work in mathematics and the sciences is integrated with many other areas of knowledge. Initial progress may be slowed down while he explores the relationships between all these areas of study, but as the pyramid gains height it becomes easier and faster and the whole structure rests on a sound base of interrelated knowledge.
換言之，培養一個數學偏才，是一條捷徑，但很快地就會遇到瓶頸。陶哲軒的父母也看到了這個危險性。因此，鼓勵孩子多多涉獵各種學科、領域，來得到發展的平衡才是正道。否則一根搖搖欲墜的柱子，欠缺深厚的、面積廣大的地基來支持建築體，很容易倒塌。
我一向鼓勵孩子涉獵各種學科，除了他所鍾愛的天文物理學之外，平日的讀物不乏生物、化學、文學、歷史、地理、考古、文化、宗教等等等，我還讓他學了法文，用意正在於，希望藉由廣泛的閱讀，孩子的知識能夠建立在金字塔式的穩固地基之上。雖然諼諼一直都沒有學數學，媽媽也不知道有這種快速的直達車可以搭乘，直到被老師認為得了數學學習障礙了，說來弔詭，為了幫助孩子克服困難，我才發現，其實孩子數學推理能力並不差啊！
然而，亡羊補牢，雖然起步晚，一切都還不算太晚。所說是資優，但數理資優並非是我們所追求的道路，三個月來驚險的雲霄飛車，忽上忽下地讓我很懷念地面上的平淡與平穩，漸漸地我的思路又回到從前所經營的閱讀上面去了。
最近借了三本的經典作品給諼諼讀：愛麗絲夢遊奇異境、環遊世界八十天、小公主，都不是改寫版，而是厚重的原著，圖書館列為七到九年級的讀物。諼諼特別鍾愛『愛麗絲夢遊奇異境』這一本書，若非孩子的緣故，我也不會去把原文找出來讀，更無緣知道，這本名著不只是故事有名而已，行文實在是很幽默風趣，善於運用文字遊戲，諼諼總是一面讀、一面哈哈大笑。以前我對於這個故事的印象完全相反，愛哭的愛麗絲所流的眼淚氾濫成災，一個無緣無故陷入異境的小女孩，境遇一定很悲慘。
這兩週放春假，我還是依然讓諼諼做數學習題，漸漸成了習慣。我夢想著，他有一天能夠像閱讀一般，自己主動讀書、自己發現興趣，將來也能主動學數學，唉！對一個不喜歡數數的孩子，這有可能嗎？
延伸閱讀
從中文識字來看學障成因
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低小視覺型數學
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循序缺陷
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學障資優與智力測驗
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澳洲小學怎麼教算數？
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奇異的資優特質
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聽覺型VS視覺型學習者
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